Перейти к оглавлению на странице: 256

то есть f первый интеграл системы (2.18). Что и требовалось.

Построение интеграла в стационарном случае

Если H = H(q, p), то, как мы знаем, H(q, p) первый интеграл системы (2.18) (интеграл энергии, см. (2.2)). Предположим, что ϕ(q, p, t) еще один интеграл этих уравнений. Тогда по теореме Пуассона функция

Таким образом, мы доказали следующий результат:

Теорема 2.2. Если H = H(q, p), ϕ(q, p, t) первый интеграл

системы (2.18), а функции ∂mϕ при m = 1, . . . , k непрерывно

∂ tm

дифференцируемы по всем своим аргументам, то они также будут интегралами этой системы (или постоянными).

Упражнение 2.2. Примените теорему Пуассона в задаче о движении точки в центральном поле.

§3. Метод Якоби решения канонических уравнений

Полный интеграл

Равенство

где x = (x1, . . . , xn), p = (p1, . . . , pn), pj = ∂z/∂xj , j [1 : n], рассмотрим как уравнение относительно неизвестной вещественнозначной функции z от n независимых вещественных аргументов x1, . . . , xn . Его называют уравнением в частных производных первого порядка.

162

Перейти к оглавлению на странице: 256

Пусть D область в Rn . Любая функция z аргумента x, которая обращает равенство (3.1) в тождество при x D, называется

интегралом или частным интегралом уравнения (3.1) в области D. Полным интегралом уравнения (3.1) в области D называют такое его n-параметрическое семейство интегралов

исключением параметров a1, . . . , an можно получить уравнение (3.1).

Отметим, что из этого определения не следует, что, во-первых, полный интеграл определяется уравнением (3.1) однозначно, и, во вторых, что из полного интеграла может быть получен любой частный интеграл в D. Если функция F не зависит явно от z , то полный интеграл может быть рассмотрен в виде z(x, a1, . . . , an−1)+an . Если функция F не зависит явно от неизвестной z и переменных x1, . . . , xk , k < n, то можно положить

163

Перейти к оглавлению на странице: 256

полный интеграл уравнения (3.1).

Уравнение Гамильтона-Якоби

Систему обыкновенных дифференциальных уравнений в симметричной форме

где Pj = ∂F/∂pj, Xj = ∂F/∂xj, j [1 : n], называют уравнениями характеристик для уравнения в частных производных первого порядка вида:

можно видеть, что это система уравнений характеристик для уравнения в частных производных вида (3.10):

Равенство (3.12) называют уравнением Гамильтона-Якоби. Неизвестную функцию S аргументов q1, . . . , qn и t называют главной функцией Гамильтона. Так как левая часть уравнения (3.12) не зависит от S , то его полный интеграл можно записать в виде:

Метод Якоби

Метод Якоби решения канонических уравнений (1.10) основан на предположении, что известен некоторый полный интеграл (3.13) уравнения (3.12).

Теорема 3.1. (Якоби) Если D R2n+1 область, а

S(t, q, a) C2(D) полный интеграл вида (3.13) уравнения (3.12), удовлетворяющий условию

164

Перейти к оглавлению на странице: 256

то существует такая область D0 D × Rn , что равенства

представляют собой 2n независимых интегралов канонических уравнений (1.10), где b = (b1, . . . , bn), как и a = (a1, . . . , an), произвольные постоянные.

Доказательство. Если

то по теореме о неявных функциях, из условия (3.14) следует, что в некоторой окрестности точки (t0, q0, a0, b0) равенства (3.15) однозначно определяют дважды непрерывно дифференцируемые функции p, q аргументов t, a, b. Нам остается доказать, что эти p, q , рассматриваемые как функции времени, удовлетворяют каноническим уравнениям.

Подставим удовлетворяющую равенствам (3.15) функцию q во вторую группу этих равенств и полученные тождества bi = ∂S/∂ ai , i [1 : n] продифференцируем по t:

Сдругой стороны, подставляя полный интеграл S (см. (3.13))

вуравнение Гамильтона-Якоби (3.12) и дифференцируя полученное тождество по ai , приходим к равенствам:

Вычитая равенства (3.17) из соответствующих равенств (3.16) и учитывая равенства (3.15), получаем, что

165

Перейти к оглавлению на странице: 256

а из этих равенств и условия (3.14) следует, что функции p, q , удовлетворяющие равенствам (3.15) удовлетворяют первой группе канонических уравнений. Подставим теперь удовлетворяющую равенствам (3.15) функцию q в первую группу этих равенств и полученные тождества pi = ∂S/∂ qi , i [1 : n] продифференцируем по t:

С другой стороны, подставляя полный интеграл S (см.(3.13)) в уравнение Гамильтона-Якоби (3.12) и дифференцируя полученное тождество по qi , приходим к равенствам:

Вычитая равенства (3.20) из соответствующих равенств (3.19) и учитывая уже доказанные равенства первой группы канонических уравнений, получаем, что функции p, q (удовлетворяющие равенствам (3.15)) удовлетворяют второй группе канонических уравнений.

Что и требовалось.

166