Перейти к оглавлению на странице: 256

ГЛАВА 13. СТРУКТУРЫ И ПРОСТРАНСТВА

§1. Группы, кольца, поля

Здесь мы напомним начальные сведения из теории групп, а также определения кольца и поля.

Бинарной алгебраической операцией или законом композиции на множестве X называют отображение τ : X × X → X . Вместо τ(a, b) пишут a τ b, например a b, a ◦ b, a + b, a · b (или a b). В последних двух случаях говорят соответственно о сумме и произведении элементов a и b, то есть законы композиции + и · называют суммой и произведением. Если закон композиции на X , то пару (X, ) называют алгебраической системой или алгебраической структурой. Чаще говорят просто об алгебраической системе X . Если X1 X2 и (X1, ) алгебраическая система, то алгебраическую систему (X2, |X2 ) обычно обозначают упрощенно

(X2, ).

Если ( a, b, c X) (a (b c) = (a b) c), то закон называется ассоциативным. Если закон композиции ассоциативен, то алгебраическую систему (X, ) называют полугруппой.

Элемент e X называется единичным или нейтральным относительно закона композиции , если ( x X) (e x = x e = x). В алгебраической системе не может быть более одного единичного элемента. Полугруппу с единицей называют моноидом. Элемент a моноида (X, , e) называют обратимым, если ( b X) (a b = b a = e). Элемент b такой, что a b = b a = e, обозначают a−1 и называют обратным к элементу a. Моноид, все элементы которого обратимы называют группой.

Закон композиции называется коммутативным в том случае, когда ( a, b X) (a b = b a). Группу с коммутативным законом композиции называют абелевой (или коммутативной) группой. Для абелевых групп закон композиции часто (но не всегда) называют сложением и обозначают + или каким-нибудь иным знаком суммы. В этом случае нейтральный элемент называют нулем

иобозначают 0, а обратный элемент называют противоположным

ивместо a−1 используют обозначение −a. Сумма b + (−a) называется тогда разностью и обозначается b − a.

189

Перейти к оглавлению на странице: 256

Если (G, ) (или просто G) группа, e ее единица и выполнены условия H G, e H, (h1, h2 H) (h1 h2 H), (h H) (h−1 H), то (H, |H)(или просто H ) называется подгруппой группы G.

Важнейшие для нас примеры групп группы преобразований. Пусть s(Ω) множество всех биективных отображений f : Ω → Ω. На этом множестве в качестве закона композиции задают суперпозицию отображений, то есть в качестве закона композиции τ берут отображение τ : s(Ω) × s(Ω) → s(Ω) такое, что ( f, ϕ s(Ω)) (τ(f, ϕ) = f ◦ ϕ), ( x Ω) ((f ◦ ϕ)(x) = f(ϕ(x))). Оказывается, что s(Ω) с таким законом композиции группа, причем ее единицей является тождественное отображение, то есть отображение idΩ : Ω → Ω такое, что ( x Ω) (idΩ(x) = x).

Если X непустое множество и выполнены условия

(k1) (X, +) абелева группа;

(k2) (X, ·) полугруппа;

(k3) ( a, b, c X) ((a + b) · c = a · c + b · c, c · (a + b) = c · a + c · b),

то тройка (X, +, ·) называется кольцом, причем ради краткости часто говорят просто о кольце X . Группу (X, +) называют аддитивной группой кольца (X, +, ·), а полугруппу (X, ·) его мультипликативной полугруппой. Если полугруппа (X, ·) моноид (то есть она имеет единицу), то (X, +, ·) называют кольцом с единицей. Иногда наличие единицы включают в определение кольца. С другой стороны, иногда в определение кольца не включают даже свойство k2.

Пусть X1 X . Тогда если (X1, +) и (X1, ·) являются соответственно подгруппой аддитивной группы (X, +) и подполугруппой мультипликативной полугруппы (X1, ·) кольца (X, +, ·), то (X1, +, ·) называют подкольцом этого кольца. Нейтральные (единичные) элементы аддитивной группы кольца и его мультипликативной полугруппы принято обозначать символами Ø(ноль) и 1 (единица) соответственно. Элемент a кольца X с единицей называется обратимым или делителем единицы, если существует элемент a−1 (называемый обратным к a), для которого истинны равенства a · a−1 = 1 = a−1 · a. Можно показать, что обратимые элементы

190

Перейти к оглавлению на странице: 256

кольца X с единицей составляют группу по умножению, которую мы обозначим U(X).

Если ( a, b X) (a · b = b · a), то кольцо X называют коммутативным. Если в коммутативном кольце X выполняется неравенство 1 6= Ø, и каждый не равный Ø элемент обратим, то это кольцо называют полем, а группу U(X) называют мультипликативной группой поля X . Элементы поля обычно называют скалярами. Подполем X1 поля X называют подкольцо в X , которое само является полем, и в этом случае говорят также, что поле X

является расширением своего подполя X1 .

Если Z, Q множества целых и рациональных чисел, а сложение и умножение на этих множествах обозначается одними и теми же символами + и ·, то (Z, +, ·), (Q, +, ·) это стандартные примеры колец, и о них принято говорить как о кольце Z целых чисел и кольце Q рациональных чисел соответственно. Если R, Cмножества вещественных и комплексных чисел, а сложение и умножение на этих множествах обозначается одними и теми же символами + и ·, то (R, +, ·), (C, +, ·) это стандартные примеры полей, и о них принято говорить как о поле R вещественных и поле C комплексных чисел соответственно.

§2. Векторные пространства

Пусть (Λ, +, ·) поле с операциями сложения + : Λ × Λ → Λ и умножения · : Λ × Λ → Λ, а Ø и 1 его ноль и единица. Говорят, что непустое множество V наделено структурой векторного пространства (или является векторным пространством) над полем Λ, если заданы функции : V × V → V и ◦ : Λ × V → V , называемые сложением векторов и умножением вектора на скаляр, и выполнены следующие условия:

(v1) (V, ) абелева группа;

(v2) при любых a, b Λ, x, y V истинны равенства:

a ◦ (x y) = a ◦ x a ◦ y, (a + b) ◦ x = a ◦ x b ◦ x, a ◦ (b ◦ x) = (a · b) ◦ x, 1 ◦ x = x.

191

Перейти к оглавлению на странице: 256

Пусть (V1, 1, ◦1), (V2, 2, ◦2) векторные пространства над полем Λ. Функция F : V1 → V2 , называется гомоморфизмом этих пространств, если

F (x 1 y) = F (x) 2 F (y), F (a ◦1 x) = a ◦2 F (x)

при любых x, y V1, a Λ. Взаимно однозначный гомоморфизм называют изоморфизмом. Если существует гомоморфизм (изоморфизм) между пространствами (V1, 1, ◦1) и (V2, 2, ◦2), то они называются гомоморфными (изоморфными). Если не интересоваться никакими свойствами пространств, кроме тех, которые связаны с операциями сложения и умножения на скаляр, то все изоморфные пространства естественно отождествить. Можно сказать, что векторное пространство определяется с точностью до изоморфизма, или что векторное пространство – это класс изоморфных пространств.

В наиболее востребованных в приложениях случаях полей Λ = R и Λ = C пространство V над полем Λ называют вещественным

и комплексным векторным пространством соответственно. Простейшим примером векторного пространства над полем Λ

является само поле Λ. Это означает, что всякое поле Λ можно наделить структурой векторного пространства над этим же полем или над его подполем K , используя заданные законы сложения и умножения поля Λ также и как сложение векторов и умножение векторов на скаляры. В этом смысле, множество C комплексных чисел можно рассматривать как векторное пространство над полем C или над полем R вещественных чисел, а множество R вещественных чисел – как векторное пространство над полем R.

Элементы векторного пространства называют векторами или точками. Ради упрощения записи, при любых a, b Λ, x, y V вместо a ·b, a ◦x, x y мы будем в дальнейшем писать ab,ax,x + y соответственно. Нейтральный элемент группы (V, ) обозначим 0 (не путать с нулем Ø поля Λ), и для любого x V , обратный к нему элемент будем обозначать −x. Кроме того, символом y − x будем обозначать величину y + (−1)x. С учетом этих упрощенных и более привычных обозначений, свойства (v1), (v2) означают, что при любых a, b Λ, x, y, z V истинны равенства

192

Перейти к оглавлению на странице: 256

Множество V1 V , которое является векторным пространством относительно тех же операций сложения векторов и умножения векторов на скаляры (а точнее – их сужений), называют подпространством векторного пространства V . Непустое подмножество L векторного пространства V называют линейным множеством или линейным многообразием в этом пространстве, если при любых a, b Λ из x, y L следует ax + by L.

Линейное многообразие в векторном пространстве является его подпространством, и, с другой стороны, любое подпространство векторного пространства является в нем линейным многообразием. Пересечение любого множества линейных многообразий в векторном пространстве является линейным многообразием этого пространства, то есть его подпространством. Рассмотрим последовательно еще три стандартные операции конструирования векторных пространств.

Пусть T1, . . . , Tk векторные пространства над полем Λ. Про-

k

изведение × Tk = T1 × . . . × Tk множеств T1, . . . , Tk можно наде-

i=1

лить структурой векторного пространства над тем же полем Λ,

193

Перейти к оглавлению на странице: 256

если при любых x1, y1 T1, . . . , xk, yk Tk и любом a Λ опре-

k

делить сумму векторов x = (x1, . . . , xk), y = (y1, . . . , yk) × Tk и

i=1

произведение вектора на скаляр как x + y = (x1 + y1, . . . , xk + yk), ax = (ax1, . . . , axk). Так определенное векторное пространство

k

× Tk называют произведением векторных пространств T1, . . . , Tk .

i=1

Если T1 = . . . = Tk = T , то для этого произведения векторных пространств используют обозначение T k .

Множество T1 + T2 = {x V |x = x1 + x2, x1 T1, x2 T2 }

называют алгебраической суммой двух подмножеств T1 и T2 векторного пространства V . Функция, сопоставляющая двум подмножествам векторного пространства их алгебраическую сумму, является ассоциативной, то есть для любых подмножеств T1 ,T2 ,T3 этого пространства истинно равенство (T1 + T2) + T3 = T1 + (T2 + T3).

k

Это позволяет ввести понятие алгебраической суммы + Ti = T1 +

i=1

. . . + Tk подмножеств T1, . . . , Tk векторного пространства. Алгебраическая сумма T1 + . . . + Tk линейных многообразий

T1, . . . , Tk векторного пространства V является линейным многообразием в этом пространстве. Говорят, что векторное пространство

k

V является прямой суммой Ti = T1 . . . Tk своих линей-

i=1

ных многообразий T1, . . . , Tk , если V = T1 + . . . + Tk и если условия u1 T1, . . . , uk Tk , u1 + . . . + uk = 0 выполняются только при u1 = . . . = uk = 0. Оказывается, что векторное пространство

k

V является прямой суммой Ti своих линейных многообразий

i=1

T1, . . . , Tk тогда и только тогда, когда любой вектор x V единственным образом представим в виде суммы x = x1 + . . . + xk , где x1 T1, . . . , xk Tk .

Пусть x и T вектор и линейное многообразие векторного пространства V над полем Λ. Классом смежности по линейному многообразию T называют множество x + T = {x}+ T . Любые два класса смежности x + T , y + T либо совпадают, либо их пересечение – пустое множество. Множество V/T = {X |X = x + T, x V } можно наделить структурой векторного пространства над тем же полем Λ, если при любых x, y V и любом a Λ определить сумму векторов X = x + T V/T и Y = y + T V/T и произведение

194

Перейти к оглавлению на странице: 256

вектора X на скаляр a формулами X+Y = {x+y}+T ,aX = ax+T . Так определенное векторное пространство также обозначают V/T и называют фактор-пространством векторного пространства V по линейному многообразию T .

Пользуясь свойствами векторного пространства V над полем Λ, по индукции можно определить вектор a1x1 + . . . + akxk V , называемый линейной комбинацией векторов x1, . . . , xk с коэффициентами a1, . . . , ak Λ. Пусть T непустое подмножество векторного пространства V над полем Λ. Множество L(T ) всех линейных комбинаций векторов из T с коэффициентами из Λ называют линейной оболочкой, натянутой на T или просто линейной оболочкой множества T . Линейная оболочка L(T ) является пересечением всех линейных многообразий в V , содержащих T .

Множество векторов x1, . . . , xk V называется линейно независимым (или еще говорят, что эти векторы линейно независимы), если равенство a1x1 + . . . + akxk = 0 не выполняется ни при каких коэффициентах a1, . . . , ak Λ, кроме a1 = . . . = ak = Ø. В противном случае, оно называется линейно зависимым. Бесконечное множество векторов называется линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо. Размерностью dim V векторного пространства V называют максимальное число его линейно независимых векторов. Если размерность n = dim V конечна, то пространство V называют конечномерным (n– мерным), а иначе – бесконечномерным. Приведем основные формулы, связывающие размерности рассмотренных выше векторных пространств.

Если T1 и T2 линейные многообразия векторного пространства, то

dim(T1 + T2) + dim(T1 ∩ T2) = dim T1 + dim T2.

Размерность co dim T векторного пространства V/T называют коразмерностью или дефектом линейного многообразия T относительно векторного пространства V . Истинно равенство dim T + co dim T = dim V . Если V = T1 T2 , то dim T2 = co dim T1 . Более того, если V = T1 . . . Tk , то имеет место равенство dim V = dim T1 + . . . + dim Tk .

Линейно независимое множество X векторного пространства V называется алгебраическим базисом этого пространства (или просто его базисом), если L(X) = V .

195

Перейти к оглавлению на странице: 256

Каждый вектор векторного пространства V может быть представлен линейной комбинацией элементов его базиса, причем для каждого базиса это представление единственно.

Любой базис n–мерного векторного пространства V состоит ровно из n векторов. Если {xk}nk=1 базис этого пространства, то его обычно записывают в виде упорядоченного набора (x1, . . . , xn), считая тем самым различными два по разному упорядоченных алгебраических базиса. Для любого x V существует единственный упорядоченный набор коэффициентов a1, . . . , an Λ такой, что x = a1x1 + . . . + anxn . Такое представление называют разложением вектора x по базису (или в базисе) (x1, . . . , xn). Коэффициенты a1, . . . , an называются координатами (компонентами) вектора x в

этом базисе.

Пусть (x01, . . . , x0n) и (x001 , . . . , x00n) два базиса векторного про-

(x01, . . . , x0n) связан с базисом (x001 , . . . , x00n) матрицей A−1). Если базис (x001 , . . . , x00n) связан с базисом (x01, . . . , x0n) матрицей A, а (a001 , . . . , a00n) и (a01, . . . , a0n) координаты некоторого вектора x V

в этих базисах, то несложно вывести, что координаты вектора x в

го векторного пространства всегда связаны матрицей с ненулевым определителем, можно ввести важные понятия ориентации базисов и самого пространства. Для этого, прежде всего, введем в рассмотрение множество B всех базисов рассматриваемого векторного пространства V . Несложно показать, что B можно представить как объединение двух непересекающихся множеств B+ и B− так, что:

(a)любые два базиса из B+ связаны матрицей с положительным определителем и любые два базиса из B− также связаны матрицей с положительным определителем;

(b)любой базис из B+ связан с любым базисом из B− матрицей с отрицательным определителем;

(c)такое представление единственно с точностью до перестанов-

196