Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

АДУС.pdf

Скачиваний:

119

Добавлен:

21.03.2016

Размер:

2.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 4748 / 5048 49 50 > Следующая >>>

Перейти к оглавлению на странице: 256

(а) 1,

(б) |t − t0|,

(в)для определения этой величины приведенных данных недостаточно.

36.Стержень AB , закрепленный сферическим шарниром в точке A и имеющий шарик, прикрепленный к нему в точке B , можно рассмотреть как твердое тело AB или как сферический математический маятник длины |AB|. Чему равно число степений свободы это тела S1 и маятника S2 ?

(а) S1 = 3, S2 = 3;

(б) S1 = 3, S2 = 2;

(в) S1 = 2, S2 = 2.

§3. Упражнения

В этом параграфе приводятся решения некоторых упражне-

ний.

Упражнение 1.2 главы 1.

Выпишем все требуемые формулы с учетом следующих обо-

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

значений ~a = xai + yaj + zak , b = xbi + ybj + zbk , ~c = xci + ycj + zck .

(1)	Скалярное произведение: D~a,~bE
(2)	Векторное произведение:
	~a		~b =	~
	~a	×	~b =	xia
		×		xb
				xb

·~

= ~a b = xaxb + yayb + zazb.

~	~	=
yja	zka	=

yb	zb

= ~i	yb	zb	−~j	xb	zb	+ ~k	xb	yb	.
	ya	za		xa	za		xa	ya

(3) Двойное векторное произведение:

~a × (~b × ~c) =	~a~b	~b
	·

. ~a · ~c

231

Перейти к оглавлению на странице: 256

(4) Смешанное произведение:						.
~a ~b,~c =			xb	yb	zb	.
D	×	E	xa	ya	za
D	×	E	xc	yc	zc

(5) Угол между ~a и b:

cos (~a, b) =

(6) Проекция ~a на b:

			xaxb + yayb + zazb
								.
	p				· p
		xa2 + ya2 + za2				xb2 + yb2 + zb2
~			xaxb + yayb + zazb
P r~ab =							.
			p
				xb2 + yb2 + zb2

Упражнение 1.4 главы 1.

Выпишем последовательно требуемые уравнения (Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Изд. Наука, 1968).

Кривые второго порядка (конические сечения) определяются уравнениями второй степени относительно декартовых прямоугольных координат. Общее уравнение второй степени относительно x, y имеет вид

a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0.							(3.1)
Для любого уравнения (3.1) три величины
I = a11 + a22, D = A33 =	a11	a12	, A =	a12	a22	a23	(3.2)
	12	22		a11	a12	a13
	12	22		a	a	a
	a	a		13	23	33

являются инвариантами, которые определяют свойства кривой второго порядка, не зависящие от ее положения на плоскости.

Используя инварианты I, D, A и величину

A0 =	a23	a33	+	a13	a33	,	(3.3)
	a22	a23		a11	a13

классификацию конических сечений можно записать в виде таблицы:

232

Перейти к оглавлению на странице: 256

КЛАССИФИКАЦИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

				невырожденные			вырожденные
				конические		сече-	(распадающие-
				ния A 6= 0			ся)	конические
							сечения A = 0
				вещественный эл-
		A/I < 0,		липс (окружность,
		D > 0		если	I2 = 4D или
центральные				a11 = a22, a12 = 0)
центральные		A/I > 0,		мнимый		эллипс
конические		A/I > 0,		(ни	одной	веще-
сечения D 6= 0		D > 0		ственной точки)
сечения D 6= 0				ственной точки)
							вещественная
		A/I = 0,					точка	пересече-
		D > 0					ния двух мнимых
							прямых	(эллипс,
							выродившийся		в
							точку)
							пара	веществен-
		D < 0		гипербола			ных	пересекаю-
							щихся	прямых
							(выродившаяся
							гипербола)
							пара	мнимых
		A0	> 0				параллельных		од-
							прямых	(ни	од-
							ной вещественной
конические сече-				парабола			точки)
конические сече-				парабола			пара	веществен-
ния	без центра	A0	< 0				ных параллельных
или	с неопреде-						прямых
ленным центром
D = 0

							одна вещественная
		A0	= 0				прямая (пара сов-
							павших прямых)

Уравнение (3.1) любой невырожденной прямой второго порядка (A 6= 0) может быть приведено к следующему каноническому виду, где λ1 > λ2 корни характеристического уравнения

λ2 − Iλ + D = 0:

233

Перейти к оглавлению на странице: 256

= 1 (эллипс),

1 A

a = −λ2 D = −λ1λ22 , b = −λ1 D = −λ2λ1

2 ;

(3.4)

−

= 1 (гипербола),

1 A

a = −λ1 D = −λ2λ12 , b = λ2 D = λ1λ22 ;

(3.5)

= 2px (парабола),

(3.6)

p =

> 0, λ2 = 0.

λ1 r−

I r− I

λ1

Уравнения вырожденных кривых второго порядка приводятся к виду:

				2			2
						x	+	y	= 0 (точка),
						2	+	2	= 0 (точка),
						a		b
x2			y2
	−				= 0 (пересекающиеся прямые),
a2	−		b2		= 0 (пересекающиеся прямые),
		x2		= 1 (параллельные прямые),
	2			= 1 (параллельные прямые),
		a

x2 = 0 (одна вещественная прямая).

Поверхности второго порядка (квадрики) определяются уравнениями второй степени относительно декартовых прямоугольных координат. Общее уравнение второй степени относительно x, y, z имеет вид

a x2	+ a y2	+ a z2	+ 2a	12	xy + 2a xz + 2a	23	yz+
11	22	33		12	13	23		(3.7)
	+2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0.							(3.7)
	+2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0.

234

Перейти к оглавлению на странице: 256

Для любого уравнения (3.7) четыре величины

J =

I = a11 + a22 + a33,

a12

a22

a23

a33

a13

a11

a12

a22

a23

a33

a13

(3.8)

a11

a12

a13

a14

D = A

a11

a12

a13

, A =

a12 a22

a23

a24

являются инвариантами, которые определяют свойства поверхности, не зависящие от ее положения в пространстве.

Классификацию поверхностей второго порядка, основанную на их инвариантах запишем в виде отдельных таблиц для невырожденных и вырожденных поверхностей с учетом обозначений (где Aik – алгебраическое дополнение элемента aik в определителе A):

A0 = A11 + A22 + A33 + A44,

A000

= a11 + a22 + a33 + a44,

A00 =

a12

a22

a13

a33

a14

a44

(3.9)

a11

a12

a11

a13

a11

a14

a22

a23

a22

a24

a33

a34

a23

a33

a24

a44

a34

a44

Канонический вид уравнений невырожденных поверхностей можно выписать с помощью параметров a2, b2, c2, p и q по инвариантам A, D, J и I уравнения (3.7) и корням характеристического уравнения λ3 − Iλ2 + Jλ − D = 0.

Вещественный эллипсоид имеет каноническое уравнение вида

a2 + b2 + c2 = 1,

1 1

(3.10)

, b

, c

где a =

−

λ1 > λ2 > λ3 > 0, D = λ1

λ2λ3.

235

Перейти к оглавлению на странице: 256

КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Невырожденные поверхности A 6= 0

A > 0

A < 0

A0 I > 0, J >

A0 I 6 0 и (или)

J 6 0

центральные

мнимый

эл-

вещественный

поверхности

DI > 0,

липсоид

(ни

эллипсоид

D 6= 0

одной

ве-

J > 0

щественной

точки)

DI 6 0

однополостный

двуполостный

и (или)

гиперболоид

J 6 0

нецентральные

J > 0

эллиптический

поверхности

параболоид

D = 0

(параболоид

вращения,

если I2 = 4J)

J < 0

гиперболический

параболоид

Однополостный гиперболоид:

a2 + b2 − c2 = 1,

1 A

(3.11)

, c

где a

−

λ1 > λ2 > 0 > λ3, D = λ1λ2λ3.

Двуполостный гиперболоид:

a2 − b2 − c2 = 1,

1 A

(3.12)

где a

, b

c =

−

λ1 > 0 > λ2 > λ3, D = λ1λ2λ3.

236

Перейти к оглавлению на странице: 256

Эллиптический параболоид:

x2	+	y2
p	+	q = 2z,

(3.13)

где p =

−

, q =

−

λ2

λ1

1 >

> λ = 0, J = λ

КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Вырожденные поверхности A = 0

Конусы и цилиндры A0 = 0

A0 I > 0, J > 0

A0 I 6 0 и (или) J 6 0

центральные

точка

(вещественная

поверхности

DI > 0,

вершина мнимого ко-

D 6= 0

нуса; эллипсоид,

вы-

J > 0

родившийся в точку)

DI 6 0

вещественный конус

и (или)

J 6 0

J > 0

мнимый

эллиптиче-

вещественный эллип-

ский

цилиндр

(ни

тический

цилиндр

одной

вещественной

(круговой

цилиндр,

нецентральные

точки)

если I2 = 4J)

J < 0

гиперболический ци-

поверхности

линдр

D = 0

J = 0

параболический

I 6= 0

цилиндр

Гиперболический параболоид:

−

= 2z,

где p =			1		A		, q = −		1		A		(3.14)
					−					−			,
			λ1			J			λ3			J
λ	1	> λ		2	= 0 > λ			, J = λ		λ	.
							3		1	3

237

Перейти к оглавлению на странице: 256

КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Вырожденные поверхности A = 0

			Пары плоскостей A0 = 0
		A00 > 0		A00 < 0		A00 = 0,
						A000 = 0
						6
нецентральные	J > 0	пара	мнимых
поверхности		плоскостей,
D = 0		пересекаю-
		щихся	по
		вещественной
		прямой
	J < 0			пара пересека-
				ющихся	веще-
				ственных плос-
				костей
	J = 0	пара	мнимых	пара	веще-	пара	сов-
	I 6= 0	параллельных		ственных		падающих
		плоскостей		параллельных		вещественных
				плоскостей		плоскостей
						(одна	плос-
						кость)

Уравнения вырожденных поверхностей приводятся к следующему каноническому виду:

= 0 (точка),

−

= 0 (вещественный конус; круговой, если a2 = b2),

= 1 (эллиптический цилиндр; круговой, если a2 = b2),

−

= 1 (гиперболический цилиндр),

= 0 (прямая),

−

= 0 (пара пересекающихся плоскостей),

y2 = 2px (параболический цилиндр),

= 1 (пара параллельных плоскостей),

238

Перейти к оглавлению на странице: 256

x2 = 0 (одна вещественная плоскость).

Упражнение 5.1 главы 3.

(1)Траектория: z = 0, r = a ebϕ/c

(2)Скорость: воспользуемся формулами полученными в примере 1.1 главы 3, тогда

v = r˙2 + (rϕ˙)2 + z˙2 = a ebt b2 + c2,

cos (~v, ~τr) = rv˙ −1 =	√			b	,

			b2 + c2
cos (~v, ~τz) = zv˙ −1 = 0,
cos (~v, ~τϕ) = rϕv˙ −1 =		√		c		.
				2	2
			b	+ c

(3)Ускорение: воспользуемся формулами полученными в примере 2.1 главы 3, тогда

w = (¨r − rϕ˙2)2 + (2r˙ϕ˙ + rϕ¨)2 + z¨2 = a ebt(b2 + c2),

b2 − c2 cos (w,~ ~τr) = b2 + c2 ,

cos (w,~ ~τz) = 0,

2bc cos (w,~ ~τϕ) = b2 + c2 .

(4)Радиус кривизны траектории, как функция от r: воспользуемся (4.2), (4.3), (4.5) и получим

wτ = v˙ = ab ebt b2 + c2,

		v2		r√
					b2 + c2
% =	√		=			.
					c2
		w2 − wτ 2

239

Перейти к оглавлению на странице: 256

(5) Радиус кривизны траектории, как функция от s:

b s % = c2 .

Упражнение 2.3 главы 4.

Три, три.

Упражнение 2.3 главы 4.

Указание: воспользоваться рисунком 3.1.

		G	G
		i ,e
		1	1
			eG
iG3			2
iG3		O	ϕ
	ϕ		iG2
	eG
	3

Рисунок 3.1

Упражнение 5.2 главы 4.

Так как ~a × ~a × ~x = ~a(~a, ~x) − ~x(a,~) = −a2~x, то умножая век-

× ~

торно исходное равенство ~a ~x = b слева на ~a получаем искомую формулу для ~x.

Упражнение 5.3 главы 4.

Докажите теорему Пуансо, пользуясь следующей схемой: Шаг 1. Если α угол между касательной неподвижной центроиды и ортом ~eξ , а β угол между касательной подвижной центро-

~	˙	откуда можно выве-
иды и ортом i	, то tg α = η˙C/ξC, tg β = y˙C/x˙ C	откуда можно выве-

сти, что β = α − ϕ, то есть угол наклона касательной подвижной центроиды к орту ~eξ равен α и тогда касательные к центроидам совпадают.

240

Перейти к оглавлению на странице: 256

Шаг 2. Если v(t), vˆ(t) величины скоростей перемещения точки C(t) (мгновенного центра скоростей) по центроидам, то можно показать, что v2 = ξ˙C2 + η˙C2 , vˆ2 = x˙ 2C + y˙C2 , откуда, после несложных преобразований, получим, что v = vˆ.

Упражнение 6.3 главы 4.

Из теоремы 6.1 и формулы (4.1) главы 4 следует, что

~r+ θ

~r+ ϕ

~r+~o(Δt)

при

→

~r1 +Δ~r2 +Δ~r3 = −→×

−→×

ψ = (Δψ)~e ,

θ = (Δθ)m,~

где

ϕ = (Δϕ)k

−→

Разделив полученное равенство на

и перейдя к пределу

(при

t → 0), получим

~v = ψ × ~r + θ × ~r + ϕ~

× ~r = (ψ + θ + ϕ~) × ~r =

× ~r

= (ψ~eζ

+ θ~m + ϕ˙k)

откуда следует равенство ω~ = ψ~eζ + θ~m + ϕ˙k верное для всех ~r.

Упражнение 11.1 главы 6.

Формула (11.7) главы 6 следует из того, что

mj~rj

~rc =

Pj j mj

По формуле (11.1) (определение главного вектора количества движения механической системы относительно полюса C ) с учетом (11.7) главы 6 получим:


	K~ c = Xj	(~rj − ~rc) × mj(~vj − ~vc) =
= Xj	(~rj − ~rc) × mj~vj − Xj		(~rj − ~rc) × mj~vc = Xj	(~rj − ~rc) × mj~vj.

Упражнение 2.1 главы 8.

Из формулы (2.4) главы 8 можно получить момент t1 , в который закончится топливо, т.е. масса ракеты будет равна m1 :

t1 = α1 ln mm(0)1 .

241

Перейти к оглавлению на странице: 256

Далее с помощью формулы (2.7) главы 8 найдем длину активного

участка траектории ракеты:

gβ2

m(0)

= (q − 1)

+ v(0)

, β = ln

2α2

Упражнение 4.1 главы 11.

r¨ − r(ϕ˙

˙2

) + δ · Φ(r) = 0,

˙ ¨

− rϕ˙

sin ϑ cos ϑ = 0,

sin

ϑ + ϑ

2r˙ϑ + rϑ

(r2ϕ˙ sin2

ϑ) = 0.

Упражнение 4.2 главы 11.

pϕ

pϑ

r˙ =

, ϕ˙ =

mr2 sin2 ϑ

, ϑ =

mr2

+ p2

cos ϑ

p˙r =

− δ · Φ(r), p˙ϕ = 0, p˙ϑ

mr3 sin2 ϑ

mr2 sin3 ϑ

242

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 4748 / 5048 49 50 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.09.201968.1 Кб0Адаптация к детскому саду-как помочь ребёнку.doc
#
15.04.201573.22 Кб9Адвокатское досье l Фев 2014.doc
#
18.07.201947.04 Кб2админ право кр.docx
#
09.08.201926.87 Кб6административка.docx
#
12.07.2019449.02 Кб6административное_право___Гюлумян_2008_весна_1_к....doc
#
21.03.20162.37 Mб119АДУС.pdf
#
30.10.20182.9 Mб534Азбука снайпера.doc
#
10.09.2019545.28 Кб9Азимов А. - Краткая история биологии. От алхими...doc
#
05.08.201975.5 Кб0Азия и Африка лекции.docx
#
15.04.2015247.81 Кб6Азия.doc
#
17.08.2019264.12 Кб3Айзек Азимов.docx