Перейти к оглавлению на странице: 256

§3. Примеры тензоров

(а)Ковектор, рассматриваемый как линейный функционал на V , есть тензор типа (1, 0), то есть Ti .

(б)Вектор, рассматриваемый как линейный функционал на V , есть тензор типа (0, 1), то есть T j .

(в) Спаривание (естественное или каноническое) между V и V

так называют билинейное отображение V V s K (по-

× →

ле, рассматривается как векторное пространство, например,

def

K = R1 ) такое, что ( l V , x V ) s (l, x) = l (x) . Ве-

личину s (l, x) обозначают hl, xi это что-то вроде скалярного произведения, но аргументы здесь из разных пространств.

Свойства: билинейность, невырожденность, то есть

( x V ) (hl, xi = 0) l = 0 V

( l V ) (hl, xi = 0) x = 0 V

Спаривание, рассматриваемое как билинейная функция ковектора и вектора есть тензор типа (1, 1), то есть Tij .

(г)Линейный оператор L : Rn → Rn , тензор Tij это матрица оператора в данном базисе, закон (2.7) для нее (переход матрицы оператора от базиса к базису) известен из алгебры.

214

Перейти к оглавлению на странице: 256

§4. Алгебраические операции над тензорами

Сложение и умножение на число

Сложение определено для тензоров одинакового типа. Пусть T, Q (k, m)– тензоры; α, β числа, тогда (k, m) тензор αT +βQ определяется как билинейная функция такая, что

Умножение

Оно определяется для любых двух тензоров. Если используется первое определение тензора (полилинейная функция), то следует оговорить, что аргументы первого тензора независимы от аргументов второго (при втором определении никаких аргументов нет, так что и оговаривать нечего). Если T, Q (p, q) и (r, s) - тензоры, то

(T Q) (x, . . . ; l, . . . ; ξ, . . . ; λ, . . .) =

(4.3)

= T (x, . . . ; l, . . .) Q (ξ, . . . ; λ, . . .) .

Так определенная функция T Q очевидно полилинейна, то есть является (p + r, q + s) - тензором.

Пусть T = T j1...jq , Q = Qm1...ms , тогда

i1...ip k1...kr

215

Перейти к оглавлению на странице: 256

Свертка

Пусть T (k, m)–тензор, а T (. . . , x, y, . . . ; . . . , ξ, η, . . .)

его значение (. . . , x, y, . . . векторы; . . . , ξ, η, . . . ковекторы). Пусть a постоянный вектор, а α постоянный ковектор, то-

зависит от выбора базиса при его построении. Действительно, если

x, ξ . Очевидно, свертка определена по любой паре контрагредиентных (то есть разноименных – вектор-ковектор) аргументов. Процесс свертывания можно продолжать до тех пор, пока остаются в получающемся тензоре пары контрагредиентных аргументов. Если число когредиентных и контрагредиентных аргументов исходного тензора T одинаковы, то свертка по всем парам даст число, называемое следом тензора T . О свертывании двух тензоров говорят, когда свертывается их произведение по аргументам, каждое из которых входит в один из сомножителей.

216

217