Перейти к оглавлению на странице: 256

ГЛАВА 5. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Если рассматривают движение механической системы относительно двух или более декартовых систем координат, то говорят о сложном движении этой системы. Здесь, в §§1 - 4 рассматривается сложное движение точки, а сложное движение твердого тела обсуждается в §5.

§1. Сложное движение точки. Основные понятия

0 ~ ~ ~

Пусть (O,~eξ,~eη,~eζ), (O , i, j, k) неподвижный и подвижный реперы. Эти реперы и связанные с ними подвижное и неподвижное пространства называют также абсолютным и относительным соответственно. Далее мы будем изучать движение некоторой геометрической точки M относительно неподвижного (абсолютного) и подвижного (относительного) реперов.

Как пример можно привести движение искусственного спутника Луны, рассматриваемого упрощенно как точка (рис. 1.1). В этом случае часто в качестве абсолютного и относительного рассматривают реперы жестко связанные с Землей и Луной. Мы найдем связь между движением точки M в неподвижном и подвижном пространстве (то есть, относительно подвижного и неподвижного реперов) в предположении, что известно движение подвижного репера относительно неподвижного.

Для этого, прежде всего, введем ряд определений. Движение, скорость и ускорение точки M относительно непо-

движного (абсолютного) репера называют абсолютными, а движение, скорость и ускорение этой точки относительно подвижного (относительного) репера называют относительными.

В момент t точка M совпадает с точкой M0 подвижного пространства (рассматриваемого как твердое тело). Движение, скорость и ускорение этой точки M0 в момент t относительно неподвижного (абсолютного) репера называют переносными для точки M в этот момент.

В связи с этими понятиями будем использовать следующие

−−→

обозначения: ~r = OM , ~v , w~ абсолютные радиус-вектор, скорость

−−−→

и ускорение точки, %~ = O0M , ~vr , w~r относительные радиусвектор, скорость и ускорение точки, ~ve , w~e переносные скорость

77

1

Перейти к оглавлению на странице: 256

Земля

ξ

Рисунок 1.1

и ускорение точки. Кроме того, символом ω~ мы будем обозначать угловую скорость подвижного (относительного) репера относительно неподвижного (абсолютного) репера.

Искомые связи между абсолютными и относительными величинами мы получим в §3, 4, а ближайший §2 является вспомогательным.

§2. Относительная производная

~

Пусть C вектор-функция аргумента t, причем

рассматриваются. В частности, в подвижном пространстве они равны нулю.

Теорема 2.1. (Формулы Пуассона) Пусть подвижный репер

0 ~ ~ ~

(O , i, j, k), жестко связанный с твердым телом, движется

78

Перейти к оглавлению на странице: 256

относительно неподвижного репера (O,~eξ,~eη,~eζ) с угловой скоростью ω~ . Тогда производные подвижных ортов в неподвижном репере вычисляются по формулам:

Доказательство. Мы докажем первую из формул (2.3), остальные доказываются аналогично. Введем обозначения:

изводной вектор-функции C . Производную вектор-функции C в

79

Перейти к оглавлению на странице: 256

~

неподвижном репере (O,~eξ,~eη,~eζ) обозначим dC/dt, ее называют

~

абсолютной производной вектор-функции C .

Теорема 2.2. (Формула относительной производной) Пусть

выполнены условия теоремы 2.1. Тогда относительная и абсолютная производные вектор-функции связаны равенством:

Доказательство. Формулу (2.2) перепишем в новых обозначени-

Что и требовалось.

§3. Теорема сложения скоростей в сложном движении точки

−−→

−−−→Здесь мы воспользуемся обозначениями ~r = OM , ~v , w~, %~ =

O0M , ~vr , w~r , ~ve , w~e , ω~ , введенными в §1.

Теорема 3.1. (Формула сложения скоростей) Абсолютная, переносная и относительная скорости движения точки связаны следующим равенством:

Доказательство. Так как ~r = ~rO0 + %~ (рис. 3.1) то, применяя

теорему 2.2, получаем:

ного пространства, с которой в данный момент t совпадает движущаяся точка M ). Теперь из того, что d0%/dt~ = ~vr следует равенство (3.1).

Что и требовалось.

80