Перейти к оглавлению на странице: 256

ГЛАВА 11. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ

§1. Вывод канонических уравнений

Преобразование Лежандра

В связи с уравнениями Лагранжа (1.4) главы 10 введем в рассмотрение величины

которые называют импульсами или обобщенными импульсами. Как мы знаем, система уравнений Лагранжа состоит из s

обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат q1, . . . , qs . Существует бесконечно много способов сведения ее к системе из 2s обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого вместо s переменных вводят 2s каких-то новых переменных. В частности, к s переменным q1, . . . , qs можно добавить еще s дополнительных переменных. Мы так и поступили, введя дополнительные переменные p1, . . . , ps . Как мы увидим, уравнения относительно переменных q1, . . . , qs , p1, . . . , ps имеют удобную симметричную форму так называемых канонических или гамильтоновых уравнений, для которых развита содержательная математическая теория.

Так как L = T − Π, а потенциальная энергия Π не зависит от обобщенных скоростей q˙1, . . . , q˙s , то истинно равенство:

154

Перейти к оглавлению на странице: 256

Введем в рассмотрение функцию

которую называют функцией Гамильтона или гамильтонианом. Используя формулы (1.1), (1.5), получаем равенства:

при i [1 : s].

Из уравнений (1.4) главы 10 и формул (1.1) и (1.7) выводим,

и, присоединяя сюда равенства (1.6), получаем искомые канонические или гамильтоновы уравнения:

Переход от уравнений Лагранжа II рода к уравнениям (1.10) при помощи введения обобщенных импульсов (1.1) и функции Гамильтона (1.5) называют преобразованием Лежандра.

Равенства (1.10) задают канонические уравнения алгоритмически (вспомним, что так же алгоритмически задавались и уравнения Лагранжа второго рода равенствами (1.1) и (1.4) главы 10). Чтобы выписать канонические уравнения для данной механической системы, необходимо составить для нее по формуле (1.5) гамильтониан H(q, p, t) и подставить эту функцию в правую часть уравнений (1.10), произведя там необходимые дифференцирования.

155

Перейти к оглавлению на странице: 256

Преобразование Дирака

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

при f = (f1, . . . , fn), q = (q1, . . . , qn).

Преобразование Дирака произвольной системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида (1.11) состоит в том, что в дополнение к “координатам” q = (q1, . . . , qn) вводятся в рассмотрение

§2. Первые интегралы канонических уравнений

Интеграл механической энергии

Используя канонические уравнения (1.10), получаем:

Как видим, если гамильтониан явно от t не зависит, то он является первым интегралом канонических уравнений, то есть

156

Перейти к оглавлению на странице: 256

на любом решении q, p этих уравнений, причем величина h не меняется со временем, ее называют постоянной механической энергии.

Используя формулы (см. (1.1), (1.5) и (1.3), (2.2) главы 10)

получаем интеграл механической энергии в форме ЯкобиОстроградского:

Если соотношения (1.1) главы 9, при помощи которых введены лагранжевы координаты q = (q1, . . . , qs), стационарны, то из формул (2.3), (2.4) главы 10 получаем, что T1 = T0 = 0, T2 = T , и тогда интеграл механической энергии принимает вид:

Циклические координаты и отвечающие им первые интегралы

Пусть функция Лагранжа L = L(q, q,˙ t) не зависит явно от координат q1, . . . , qσ при σ < s. Такие координаты называются циклическими, а остальные s − σ координат qσ+1, . . . , qs называются тогда позиционными.

Из формулы (1.7) следует, что

157

Перейти к оглавлению на странице: 256

где все величины cν не меняются со временем, а это означает, что функции pν = ∂L(q, q,˙ t)/∂ q˙ν , ν [1 : σ] являются первыми интегралами канонической системы. Говорят, что pν первый интеграл, отвечающий циклической координате qν .

Для позиционных координат можно выписать следующую замкнутую систему канонических уравнений:

i [σ + 1 : s].

Если позиционные координаты qσ+1, . . . , qs найдены, то, подставив их в равенства (2.9), можно найти циклические координаты. Действительно, из критерия Сильвестра положительной определенности квадратичной формы T2(u) (см. (2.7), (2.8) главы 10) следует, в частности, что истинно неравенство

которое является достаточным условием разрешимости равенств (2.9) относительно величин q˙1, . . . , q˙σ .

Таким образом, наличие одной циклической координаты позволяет, в принципе, понизить порядок канонических уравнений на две единицы.

Метод Пуассона построения первых интегралов

Скобки Пуассона

Пусть f, g скалярные дважды непрерывно дифференцируемые функции канонических аргументов q = (q1, . . . , qn), p = (p1, . . . , pn) и времени t.

Положим

f, g . Она удовлетворяет следующим свойствам:

158

Перейти к оглавлению на странице: 256

(а) {f, g} = −{g, f}, {f, f} = 0;

(б) если c = const, то {f, c} = {c, f} = 0;

Упражнение 2.1. Доказать свойства (а)–(е).

Доказательство. Докажем свойство (ж). Как следует из опреде-

ления, скобка Пуассона {f, g} есть билинейная однородная функция производных первого порядка от f и g . Тогда ясно, что левая часть тождества Пуассона есть линейная однородная функция производных второго порядка от f , g , h, то есть каждый член тождества должен содержать одну из этих производных второго порядка. Тождество будет доказано, если мы покажем, что оно не содержит ни одной производной от f, g, h второго порядка. В силу симметрии тождества по f, g, h, достаточно доказать, что оно не содержит вторые производные от одной из функций f, g или h, например от f .

Соберем в тождестве все члены, содержащие вторые производные от f . Они содержатся только во второй и третьей скобках. Введем обозначения

тем самым мы вводим в рассмотрение два линейных дифференциальных оператора

159

Перейти к оглавлению на странице: 256

где x = (x1, . . . , x2n) = (q1, . . . , qn, p1, . . . , pn), а ξk = ξk(x), ηk =

ηk(x) некоторые функции своих аргументов. Используя обозначения (2.13) получаем

{g, {h, f}} + {h, {f, g}} = {g, {h, f}} − {h, {g, f}} =

(2.15)

= D1(D2(f)) − D2(D1(f)) = (D1D2 − D2D1) (f)

Таким образом, D линейный оператор, содержащий только однократные дифференцирования и, следовательно, левая часть тождества не содержит вторых производных от f .

Что и требовалось.

Теорема Пуассона

Скобки Пуассона мы ввели формально. Выясним, откуда они берутся, как связаны с системой Гамильтона. Рассмотрим уравнения Гамильтона:

где q = (q1, . . . , qn), p = (p1, . . . , pn).

Пусть f = f(q, p, t) скалярная функция от q, p и t. Вычислим ее полную производную по t:

160

Отсюда следует необходимое и достаточное условие того, чтобы функция f(q, p, t) была первым интегралом уравнений (2.18):

Пуассон предложил метод, позволяющий (к сожалению не всегда) по двум известным интегралам гамильтоновых уравнений строить третий.

Теорема 2.1. (Теорема Пуассона) Пусть ϕ(q, p, t), ψ(q, p, t)

первые интегралы канонической системы (2.18). Тогда функция f = {ϕ, ψ} также будет интегралом этой системы или f ≡ const.

∂{ϕ,ψ} + {{ϕ, ψ} , H} = 0,

∂t

∂∂ft + {f, H} = 0,

161