из (2.17) следуют канонические уравнения.

§3. Функционал и функция действия

Здесь вводятся в рассмотрение понятия действия как функционала, зависящего от движения (функционал действия), и как функции многих скалярных переменных начальных и конечных значений времени и движения (функция действия), даются определения изохронной и полной вариации функционала действия и выводится связь между ними. Кроме того, доказывается важное для теории и приложений утверждение о том , что функция действия удовлетворяет уравнению Гамильтона - Якоби (точнее, является семейством его решений). Изохронная вариация функционала действия используется в принципе наименьшего действия Гамильтона (см. §4), а полная вариация этого функционала в принципе наименьшего действия Эйлера - Лагранжа (см. §5).

Изохронная вариация функционала действия

Величину

t1

где L функция Лагранжа механической системы, а q0(t) = (q10 (t), ..., qs0 (t)), любое кинематически возможное движение (в обобщенных координатах), называют действием. Действие рассмотрим здесь как функционал, заданный на множестве допустимых (кинематически возможных) движений q0(t). Величины t1, t2 будем считать параметрами, причем t < t1 < t2 < t , а [t , t ] промежуток, на котором определено движение q0(t).

Вариации координат, скоростей и функций от них (при фиксированном времени t), которые мы до сих пор рассматривали, называют изохронными. Бесконечно малую величину

178

Перейти к оглавлению на странице: 256

рассматриваемую как функцию (функционал) от q0(t), называют изохронной вариацией функционала действия. Очевидно, что

причем, как обычно, равенство между бесконечно малыми понимается как равенство с точностью до бесконечно малых высшего порядка. Используя дифференциальный принцип (2.14), получаем:

называют полными вариациями координат и скоростей. Аналогично определяется полная вариация ΔΦ функции Φ от q, q,˙ t:

причем, как и выше, предполагается, что q0(t) = (q10 (t), ..., qs0 (t)) кинематически возможное движение.

Получим формулы, связывающие полную и изохронную вариации:

Подставляя (3.8) в (3.7) и отбрасывая члены второго порядка малости (второй член в (3.8)) получаем искомую формулу:

179

называют полной вариацией функционала действия.

Теперь мы хотим получить формулу, связывающую полную и изохронную вариации функционала действия. Тогда, используя уже полученную формулу для изохронной вариации (3.4), мы сможем получить аналогичную формулу для полной вариации.

Используя обозначения

t2

= R δ L dt − L (q0(t1), q˙0(t1), t1)Δt1 + L (q0(t2), q˙0(t2), t2)Δt2 ,

t1

t2 t2

RR

L dt = δ L dt − L1 t1 + L2 t2 .

t1 t1

(3.15)

180

Перейти к оглавлению на странице: 256

Используя (3.4), находим, что

t2

Z

t1

Учитывая (3.9) и формулу H = p q˙ − L приходим к искомой формуле для полной вариации функционала действия:

Функция действия семейство решений уравнения Гамильтона-Якоби

Пусть q решение уравнений движения рассматриваемой механической системы. Введем в рассмотрение величину:

она совпадает с интегралом действия (3.1) при q0 = q , то есть может рассматриваться как функционал действия на множестве истинных движений механической системы. С другой стороны, полагая, что решение q уравнений движения вполне определяется начальным q1 = q(t1) и конечным q2 = q(t2) положениями, можно рассматривать величину W как функцию W (q1, q2, t1, t2) параметров q1, q2, t1, t2 , мы будем называть ее тогда функцией действия. Как и ранее, полагаем, что t < t1 < t2 < t , где [t , t ] промежуток, на котором определено движение q(t). Будем предполагать далее, что функция W (q1, q2, t1, t2) определена в некотором открытом односвязном множестве (то есть области) DW R2s+1 .

Из определения функции действия W (q1, q2, t1, t2) получаем,

что

поэтому формулу (3.17) можно переписать в следующем виде:

181