Перейти к оглавлению на странице: 256

ГЛАВА 1. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Аффинное пространство используют в классической механике по той причине, что в трехмерном случае аффинное евклидово пространство является естественной моделью окружающего нас пространства и, с другой стороны, это пространство элементарной геометрии (стереометрии) при выбранной единице длины (см.

Элементы множества E называют точками аффинного про-

~

странства, а элементы множества E векторами. Отображение f

сопоставляет каждой паре точек a, b аффинного пространства век-

→− ~

тор ab, что позволит нам далее (пользуясь тем, что E векторное пространство) ввести в аффинном пространстве системы координат и другие необходимые понятия.

Из свойств 1,2 можно получить следствия:

5

Перейти к оглавлению на странице: 256

Упражнение 1.1. Докажите свойства 3–6.

Определенное выше аффинное пространство, строго говоря, следует не только рассматривать, но и обозначать как тройку

~

(E, E, f), но обычно его обозначают просто E . Наряду с векторами

~

векторного пространства E в аффинном пространстве вводят понятие закрепленного вектора. Если a точка аффинного простран-

(или приложенным к точке a). Каждому закрепленному вектору

дой упорядоченной паре точек (a, b) соответствует закрепленный

→−

вектор (a, ab). Поэтому закрепленным вектором называют также упорядоченную пару точек аффинного пространства. Вместо того,

−→

к недоразумению. Закрепленный вектор ab обычно изображают на рисунке стрелкой от a к b и называют направленным отрезком. В противоположность названию закрепленный вектор, для векторов

жество l (A, B) можно считать упорядоченным, полагая, что точка

только тогда, когда t1 < t2 . В этом случае прямую l (A, B) будем

−−→

считать направленной, а точнее – сонаправленной с вектором AB

−−→

(а значит и с любым вектором t · AB при t > 0). В частности,

две направленные прямые l (A, B) и l (B, A) имеют противоположные направления, хотя и совпадают как множества. Далее, если не оговорено противное, символом l (A, B) обозначается направленная прямая.

Размерностью аффинного пространства E называют размер-

ность связанного с ним векторного пространства ~ .

E

6

Перейти к оглавлению на странице: 256

~

Всякое векторное пространство L можно наделить структурой аффинного пространства. Для этого можно взять два экзем-

~

пляра пространства L, один из них объявить множеством точек и

~

обозначить E , другой – множеством векторов и обозначить E , а

Всякое аффинное пространство E можно наделить структурой векторного пространства. Для этого фиксируют некоторую точку O E и произвольной точке M E сопоставляют вектор

ет векторное пространство.

Аффинные евклидовы пространства

Аффинное пространство E называют евклидовым аффинным пространством или евклидовым точечным пространством, если

~

связанное с ним векторное пространство E евклидово, то есть на

дится по формуле kp~k = p~ p~. Аффинное евклидово пространство становится метрическим если ввести евклидово расстояние % по

ное или евклидово пространство R , используют обозначение E вместо E .

Использование евклидова пространства Rn обеспечивает нас таким мощным и необходимым для классической механики инструментарием, как векторная алгебра и аналитическая геометрия в этом пространстве.

Упражнение 1.2. При условии, что заданы координаты

~

векторов ~a, b,~c относительно ортонормального базиса евклидова пространства R3 , выписать формулы для скалярного, векторного, двойного векторного и смешанного про-

двумя векторами и для проекции вектора ~a на вектор b.

7

Перейти к оглавлению на странице: 256

В случае, если фиксирован базис, вместо равенств (2.2) мы

а если фиксированы и базис и начало, то мы будем вместо (2.2)

(M0,~e1, . . . ,~en) аффинного пространства En можно сопоставить базис (M0, M1, . . . , Mn). Вместо базиса (M0, . . . , Mn) можно задать

аффинную систему координат – начало координат M0 и упорядоченный набор прямых (l (M0, M1), . . . , l (M0, Mn)), называемых осями координат. Ясно, что по заданной системе координат можно построить базис (и даже бесконечно много базисов), а по заданному базису можно построить систему координат.

Резюмируя сказанное о введенных выше понятиях репера, базиса и аффинной системы координат, еще раз отметим, что задание любого из этих трех объектов позволяет построить и два других.

Важным для механики является понятие ориентации системы координат: ориентацией репера (или, что то же, ориентацией аффинной системы координат или ориентацией аффинного базиса) называют ориентацию базиса соответствующего векторного пространства.

Упражнение 2.1. Как множество всех базисов векторного пространства разбивают на два подмножества (класса), каждое из которых содержит одинаково ориентированные базисы? Отдельно уточните ответ на этот вопрос для случая евклидова пространства (см. §§2, 4, 5 главы 13 и §2 главы 4).

Далее мы будем рассматривать только евклидово аффинное пространство En , а базисы в соответствующем пространстве Rn будем считать ортонормированными. Это означает, в частности, что оси соответствующей аффинной системы координат взаимно

9

Перейти к оглавлению на странице: 256

ортогональны. Как известно, при n = 2, 3 такую систему координат называют декартовой, поэтому и в общем случае n [1 : ∞]

ее естественно (но не обязательно) также называть декартовой.

Упражнение 2.2. Объясните почему аффинные координаты точки в декартовой системе есть проекции ее радиусвектора на оси координат.

Пусть (O,~e1, . . . ,~en) репер в пространстве En , и пусть

Аффинные преобразования координат

Теперь мы найдем формулы преобразования аффинных координат точек, то есть связь между координатами точки в различных реперах. Пусть

Прежде, чем обратиться к общему случаю, рассмотрим два ортонормальных базиса (~e 01, . . . ,~e 0n),(~e 001 , . . . ,~e 00n) пространства Rn .

Как известно, они связаны равенствами:

где числовая матрица P = (pi,j) удовлетворяет условию ортогональности P T = P −1 или P T P = I . Напомним, почему матрица P должна удовлетворять условию ортогональности. Дело в том, что

10

Перейти к оглавлению на странице: 256

любое преобразование базисов вида (2.7), не должно менять длины векторов. Это означает, что P должна удовлетворять условию

условие ортогональности P T P = I . Из условия ортогональности следует, что 1 = det I = det(P T P ) = det P T det P = (det P )2 , и тогда det P = ±1. Если элементы матрицы P непрерывно зависят от каких-то параметров (например, от времени), то det P также непрерывно зависит от них. Отсюда следует, что при изменении этих параметров величина det P не меняется. Мы далее полагаем det P = 1.

Вернемся к формулам преобразования аффинных координат

Формулы (2.10), (2.11) – искомые.

11