Перейти к оглавлению на странице: 256

ГЛАВА 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ

В качестве пространства, в котором будут определены криволинейные координаты, мы рассматриваем здесь Rn . Мы будем рассматривать одновременно различные его экземпляры, поэтому будем использовать для них, наряду с Rn , также обозначения Rn(y),R1n(x) и т.п. (при x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn)). Частные случаи криволинейных координат в пространстве Rn хорошо известны. Это полярные, цилиндрические, сферические координаты и т.д. На этих примерах можно заметить, что задать какие-то криволинейные координаты в некоторой области D пространства Rn(y) означает поставить в соответствие каждой точке y = (y1, . . . , yn) этой области упорядоченный набор вещественных чисел x = (x1, . . . , xn) R1n , называемых координатами этой точки. Декартовы координаты, в этом смысле, ничем не отличаются от других координат. С другой стороны, ясно, что не всякое соответствие окажется полезным для введения криволинейных координат. Например, мало пользы в качестве системы координат могло бы принести соответствие, сопоставляющее каждой точке пространства Rn одну и ту же точку x R1n . Выделяя полезные свойства конкретных систем координат пришли к достаточно общему понятию криволинейной системы координат.

§1. Криволинейные системы координат

Криволинейной системой координат в области D Rn(y)

(область здесь, как обычно, – открытое связное множество) называют систему гладких функций (x1(y1, . . . , yn), . . . , xn(y1, . . . , yn)), задающих взаимно-однозначное отображение области D на некоторую область D1 R1n(x), причем эти функции таковы, что отличен от нуля во всех точках области D якобиан

12

Перейти к оглавлению на странице: 256

(x1(y1, . . . , yn), . . . , xn(y1, . . . , yn)), также является гладким (это следствие теоремы о неявных функциях).

Таким образом, криволинейная система координат задается двумя гладкими, взаимно-обратными отображениями f(y) и

f−1(x), устанавливающими гомеоморфизм между множествами

D = f−1(D1) и D1 = f(D).

Гладкость – понятие гибкое, нам следует уточнить его. Отображение f : D → R1n называют гладким отображением класса

Cr(D) при 1 6 r < ∞, или r = ∞, или r = ω , если оно дифференцируемо до порядка r включительно, или бесконечно дифференцируемо, или аналитично соответственно. Часто гладкое отображение какого-то класса называют просто гладким отображением, а класс гладкости уточняют при необходимости. Гладкий гомеоморфизм класса Cr(D) между D и D1 называют диффеоморфизмом класса Cr(D), а множества D и D1 , при существовании такого диффеоморфизма, называют диффеоморфными.

Итак, криволинейная система координат в области D Rn это некоторый диффеоморфизм f : D → R1n с ненулевым якобианом.

Так как мы собираемся пользоваться различными системами координат и, в частности, переходить от одной системы координат к другой, то должны рассмотреть общее понятие замены координат.

сто криволинейных координат (x1(y), . . . , xn(y)) новые координаты

(z1(y), . . . , zn(y)).

Можно показать, что замена ψxz : D1 → D2 диффеоморфизм с ненулевым якобианом, то есть это криволинейная система координат в D1 R1n(x).

Если задана декартова система координат, то задание новой криволинейной системы координат удобно трактовать как замену

13

Перейти к оглавлению на странице: 256

Рисунок 1.1

и задавать формулами замены координат. В качестве примера рассмотрим цилиндрическую систему координат в R3 (Рис. 2.2). Рассмотрим R3(y), R13(x) при y = (y1, y2, y3), x = (x1, x2, x3) и используем обозначения:

определяют гладкое отображение f : D → D1 R13(x) с якобианом:

Как видим, формулы (1.3) задают криволинейную систему координат в области D R3(%, ϕ, z), а значит и в области D1

R13(x).

§2. Локальные базисы

В механике фиксированную декартову систему координат в R3 часто обозначают Oxyz , а упорядоченный набор координат точ-

14

Перейти к оглавлению на странице: 256

~ ~ ~

где i, j, k орты системы Oxyz . Криволинейные координаты обозначим ~q = (q1, q2, q3) и будем задавать их формулами qi = qi(~r),

~r = (x, y, z) D, i = 1, 2, 3, то есть ~q = ~q(~r), или x = x(~q), y = y(~q), z = z(~q), ~r = ~r(~q) при ~q = (q1, q2, q3) Q = { ~q | ~q = ~q(~r), ~r D }, причем предполагается, что ~q(~r(~q)) = ~q, ~r(~q(~r)) = ~r в областях Q и D соответственно.

Теперь мы введем в рассмотрение понятия координатной поверхности, координатной линии, локального базиса и ортогональности криволинейной системы координат. Это позволит нам в дальнейшем проектировать различные векторы (скорость, ускорение и т.п.) на оси криволинейной системы координат, то есть на оси упомянутого локального базиса. Наиболее простыми оказываются формулы проекций векторов на оси ортогональных криволинейных систем координат.

Пусть ~q0 = (q1,0, q2,0, q3,0) Q, ~r0 = ~r(~q0) = (x0, y0, z0), тогда три множества

называют координатными поверхностями криволинейной системы координат ~q = (q1, q2, q3) в точке (q1,0, q2,0, q3,0), а множества

q˜3 = (q1,0) ∩ (q2,0), q˜2 = (q1,0) ∩ (q3,0), q˜1 = (q2,0) ∩ (q3,0) (2.2)

15

Перейти к оглавлению на странице: 256

ее координатными линиями в этой точке. Ясно, что

В соответствии с определением криволинейной системы координат, ее якобиан отличен от нуля в каждой точке области опреде-

этого якобиана и поэтому не могут быть нулевыми. Эти векторы являются касательными в точке ~q0 = (q1,0, q2,0, q3,0) Q к линиям q˜1 , q˜2 , q˜3 соответственно.

z [z]

Рисунок 2.2

Действительно, координатная кривая q˜i в точке (q1,0, q2,0, q3,0) параметризуется переменной qi , то есть, например, для линии q˜1

−1

локальным базисом в точке ~q0 = (q1,0, q2,0, q3,0) рассматриваемой криволинейной системы координат. Если векторы ~τ1, ~τ2, ~τ3 взаимно ортогональны в точке ~q0 = (q1,0, q2,0, q3,0) (в каждой точке области Q), то базис и сама криволинейная система называются ортогональными в этой точке (в области Q).

16

Перейти к оглавлению на странице: 256

Получим условия ортогональности криволинейной системы

жет быть нулевым, то условия ортогональности локального базиса

Упражнение 2.1. Показать, что цилиндрическая система

координат ортогональна во всей своей области определения (Рис. 2.2).

17