Перейти к оглавлению на странице: 256

где T0 = T |t=t0 . Величину A называют работой по перемещению

~

материальной точки под действием силы F из точки M0 в точку

_

M вдоль дуги M0M .

_

Если задать дугу M0M в параметрической форме, то есть если ~r задать как функцию какого-то параметра, то работу можно записать как определенный интеграл по этому параметру. В качестве параметра обычно используют время t или естественную координату s. Выпишем соответствующие формулы:

|~ |

где F = F , а ~τ = ~v/v .

Первая из этих формул получается, например, интегрированием равенства (12.3) по t от t0 до t, а вторую можно получить из первой заменой t на s с учетом формул ds/dt = v, d~r/ds = ~τ ( см. §1 главы 3). Еще проще вторую формулу можно получить из (12.4) заменив d~r на ~τds, а интеграл по дуге на определенный интеграл

называют мощностью и говорят, что мощность характеризует ин-

~

тенсивность выполнения работы A силой F . Используя понятие мощности и равенство (12.3) можно сказать, что производная кинетической энергии материальной точки равна мощности работы, выполняемой главным вектором сил, действующих на эту точку. Это еще одна формулировка теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки.

107

Перейти к оглавлению на странице: 256

~

то поле сил F (~r) называют потенциальным в области D. Функцию U (определенную с точностью до аддитивной постоянной) называют при этом силовой функцией или силовым потенциалом или

108

Перейти к оглавлению на странице: 256

~ ~ ~

где x0, y0, z0 и x, y, z координаты точек M0 , M в репере (O, i, j, k),это означает, что работа A зависит только от конечных точек дуги траектории и не зависит от выбора дуги, соединяющей эти точки. В частности, равна нулю работа по перемещению материальной точки в потенциальном поле по любому замкнутому контуру из какой-то точки в эту же точку.

Множество точек M E3 с координатами x, y, z , удовлетворяющее равенству U(x, y, z) = C , называют эквипотенциальной поверхностью. Обозначим эту поверхность UC . Работа по перемещению материальной точки в потенциальном поле из произвольной точки поверхности UC1 в произвольную точку поверхности UC2 равна разности C2 − C1 .

Важным следствием потенциальности силового поля является

где h произвольная постоянная. Функцию T −U называют интегралом механической энергии, а постоянную h называют постоянной механической энергии. Величину Π = −U называют потенциальной энергией или потенциальной функцией материальной точки.

Пример 13.1. Рассмотрим два примера потенциальных силовых полей и один пример непотенциальной силы.

Поле силы тяжести

Как видим, рассматриваемая сила потенциальна и, так как потенциал определяется с точностью до аддитивной постоянной, можно положить

109

Перейти к оглавлению на странице: 256

Интеграл энергии тогда будет равен

Центральное поле сил

~

В этом случае (см. §4) сила F , действующая на материальную точку M массы m равна δ · Φ(r)r−1~r, где r = |~r|, δ = ±1, а Φ некоторая функция аргумента r. Так как rd~ = 12 dr2 = r dr, то

Z

~ −1

F d~r = δΦ(r)r rd~ = d(δ Φ(r) dr), (13.12)

это означает, что центральное поле сил является потенциальным, причем

Z Z

U = δ Φ(r) dr, Π = −δ Φ(r) dr. (13.13)

Интеграл энергии тогда будет равен величине

Z

(mv2/2) − δ Φ(r) dr. (13.14)

Сила сопротивления среды

При изучении движения твердого тела массы m в газе или жидкости используют модель движения материальной

~ −

точки M массы m, на которую действует сила F = k~v (сопротивление среды см. §4), где k положительная постоянная (коэффициент сопротивления среды), зависящая от среды и тела, а ~v скорость движения точки относительно среды. Так как эта сила зависит от скорости точки,

~

то мы не можем говорить о силовом поле F (~r), а значит и о его потенциальности и об интеграле механической энергии T − U . Поэтому, для того, чтобы в этом примере получить какой-то полезный результат об изменении кинетической энергии, вернемся к равенству (12.2) (то есть к теореме

110