Перейти к оглавлению на странице: 256

где ~rc радиус-вектор центра масс тела, ~rA, w~A радиус-вектор и ускорение полюса A, а m масса тела.

Закон (теорема) об изменении кинетической энергии твердого тела состоит в том, что

где T кинетическая энергия твердого тела в момент времени t, T0 = T |t=t0 , а A работа всех сил, действующих на тело, на промежутке времени [t0, t].

§3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки

Динамические уравнения Эйлера

Теорема об изменении кинетического момента ~ O твердого

K

тела относительно его неподвижной точки O под действием сил,

главный момент которых относительно этой же точки равен ~ O ,

M

выражается равенством:

где ω~ угловая скорость твердого тела.

~ ~ ~

Пусть орты подвижного репера (O, i, j, k), жестко связанного с телом, направлены по главным осям инерции этого тела, и пусть

128

Перейти к оглавлению на странице: 256

это динамические уравнения Эйлера.

Кинематические уравнения Эйлера

Величины Mx, My, Mz могут быть функциями не только времени и неизвестных ωx, ωy, ωz уравнений (3.3), но также и других переменных. В частности, этими другими переменными могут быть углы Эйлера ϕ, ψ, ϑ. Для того, чтобы интегрировать в таких случаях уравнения (3.3), их необходимо дополнить какими-то уравнениями относительно всех тех переменных, от которых величины Mx, My, Mz зависят.

Дифференциальные уравнения относительно углов Эйлера мы уже вывели (см. (6.19) главы 4):

ωx = ψ˙ sin ϕ sin ϑ+ϑ˙ cos ϕ, ωy = ψ˙ cos ϕ sin ϑ−ϑ˙ sin ϕ, ωz = ψ˙ cos ϑ+ϕ,˙

(3.4)

их называют кинематическими уравнениями Эйлера.

§4. Уравнения движения свободного твердого тела

Движение твердого тела рассмотрим в репере (O,~eξ,~eη,~eζ), а

~ ~ ~

(O, i, j, k)). Опираясь на упражнение 2.1 и действуя как в §3, можно вывести динамические уравнения Эйлера для рассматриваемого общего (называемого свободным) случая движения твердого тела:

Как и в §3, к этим динамическим уравнениям Эйлера можно добавить кинематические уравнения Эйлера:

ωx = ψ˙ sin ϕ sin ϑ+ϑ˙ cos ϕ, ωy = ψ˙ cos ϕ sin ϑ−ϑ˙ sin ϕ, ωz = ψ˙ cos ϑ+ϕ˙.

(4.2)

129

Перейти к оглавлению на странице: 256

Хотя уравнения (4.1), (4.2) по виду полностью идентичны уравнениям (3.3), (3.4), входящие в них параметры Jxx , Jyy , Jzz , величины Mx, My, Mz и переменные ωx, ωy, ωz , ϕ, ψ, ϑ имеют различный смысл.

Для определения положения и скоростей точек твердого тела в неподвижном репере кроме величин ωx, ωy, ωz , ϕ, ψ, ϑ достаточно знать радиус-вектор ~rc и скорость ~vc = ~r˙c центра масс тела C . Эти величины нам дает теорема о движении центра масс твердого тела состоящая в том, что (см. (2.9)):

~

где m масса твердого тела, а F главный вектор действующих на него сил.

Уравнения (4.1), (4.2), (4.3) называют уравнениями движе-

~

ния свободного твердого тела. Если величины Mx, My, Mz и F

могут быть выражены как функции переменных ωx, ωy, ωz, ϕ, ψ, ϑ, ~rc , ~vc = ~r˙c и, возможно, их производных и каких-то параметров (то есть, не зависящих от времени величин), то эти обыкновенные дифференциальные уравнения, вообще говоря, образуют замкнутую систему. Если это не так, то есть если упомянутые величины зависят от каких-то дополнительных переменных, то для решения уравнений (4.1), (4.2), (4.3) к ним придется добавить какие-то уравнения относительно этих дополнительных переменных и т. д.

130