Перейти к оглавлению на странице: 256
Если механическая система не стеснена другими связями, кроме (2.1), то из способа введения обобщенных координат и открытости B (область в Rs ) следует, что изохронные вариации δq1, . . . , δqs независимы.
§3. Идеальные связи. Общее уравнение механики и принцип возможных перемещений
Главный вектор, действующих на точку Mj сил реакций связи
~ |
N ~ |
называют виртуальной ра- |
обозначим Rj . Величину |
j=1 Rj · δ~rj |
P
ботой сил реакций связи. Если она равна нулю, то связи называют идеальными. Об идеальных связях говорят, что они не препятствуют движению механической системы, совместимому со связями.
Рассмотрим дифференциальные уравнения Ньютона движе-
ния механической системы: |
|
|
|
|||
|
|
|
d |
~ |
~ |
|
|
|
mj |
dt |
~vj = Fj + Rj, |
(3.1) |
|
~ |
~ |
главные векторы внешних и внутренних активных |
||||
где Fj |
и Rj |
|||||
сил и сил реакций, действующих на материальную точку Mj |
массы |
|||||
mj . |
|
|
|
|
|
|
Будем предполагать, что все стесняющие рассматриваемую механическую систему связи являются идеальными. Умножая j -ое уравнение (3.1) скалярно на δ~rj и суммируя полученные равенства по всем j , получаем:
N |
mj dt~vj − F~j |
· δ~rj = 0, |
(3.2) |
|
j=1 |
||||
X |
|
d |
|
|
это общее уравнение механики |
в декартовых |
координа- |
||
тах(уравнение Даламбера - Лагранжа). Входящие в (3.2) величины mj d~vj/dt, взятые с обратным знаком, называют силами инерции, а само это уравнение формулируют как равенство нулю в любой момент времени суммы элементарных работ активных сил и сил инерции на любых виртуальных перемещениях.
Если механическая система находится в положении равновесия в данном репере, то есть скорости всех точек равны нулю, то
141
Перейти к оглавлению на странице: 256
d~vj/dt = 0, j [1 : N]. В этом случае получаем:
N |
|
X |
|
~ |
(3.3) |
Fj · δ~rj = 0, |
j=1
то есть, сумма всех виртуальных работ активных сил равна нулю, это необходимые условия равновесия в данном репере механической системы, стесненной только голономными идеальными связями. На самом деле имеют место более сильные результаты, один из которых мы сформулируем здесь без доказательства.
Теорема 3.1. (Принцип возможных перемещений) Пусть
при t (t1, t2) механическая система стеснена только стационарными голономными идеальными связями в виде равенств. Тогда условие (3.3), то есть равенство нулю суммы всех виртуальных работ действующих на систему активных сил, является необходимым и достаточным условием равновесия этой системы в рассматриваемом репере.
Равенство (3.3) называют общим уравнением статики.
§4. Общее уравнение механики в лагранжевых координатах
Общее уравнение механики в декартовых координатах (3.2) мы преобразуем здесь при помощи формул (1.2), (1.3), (2.6) и тождества:
dt ∂ qp |
= dt |
~vj ∂ qp |
− ~vj dt ∂ qp . |
|||
d~vj ∂ ~rj |
|
d |
|
∂ ~rj |
|
d ∂ ~rj |
Используя формулу (2.6), получаем:
N |
|
d |
|
|
|
|
|
s |
∂ ~r |
δqp = 0. |
|
j=1 |
mj dt |
~vj − F~j p=1 |
∂ qp |
||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
X |
j |
|
|
Из формулы (1.3) следует, что |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
∂ ~rj |
= |
|
∂ ~vj |
. |
|
|
|
|
|
|
|
∂ q |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
p |
|
∂ q˙ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
||
(4.1)
(4.2)
(4.3)
142
Перейти к оглавлению на странице: 256
Сравнивая равенство
|
d ∂ ~r |
s |
|
∂2 ~r |
|
|
|
∂2 ~r |
|
||||||||||
|
X |
|
|
|
|
(4.4) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
j = |
|
|
j |
|
q˙k + |
j |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dt ∂ qp |
k=1 |
|
∂qk∂qp |
|
∂t ∂qp |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
с равенством |
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
∂~v |
|
|
|
∂2 |
~r |
|
|
∂2 ~r |
|
|
|||||||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
j |
= |
|
|
|
|
j |
|
q˙k + |
|
j |
, |
(4.5) |
||
|
|
∂ qp |
|
∂qk∂qp |
∂t ∂qp |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
полученным дифференцированием формулы (1.3) и переменой местами индексов k, p, приходим к равенству:
d ∂ ~rj |
= |
|
∂ ~vj |
. |
(4.6) |
||
|
|
|
|
||||
dt ∂ qp |
|
||||||
|
∂ qp |
|
|||||
Используя формулы (4.1), (4.3), (4.6), выводим равенство:
|
|
|
|
|
|
|
d~vj |
|
∂ ~rj |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂~vj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
∂ qp |
= |
dt |
|
|
|
~vj |
∂ q˙p |
|
− ~vj |
∂ qp |
. |
|
|
|
|
|
(4.7) |
||||||||||||
|
Умножая |
это равенство |
|
|
на |
mj и |
суммируя |
по |
всем |
|
j = |
|||||||||||||||||||||||||||||
1, . . . , N , получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
N |
|
d~v |
j |
|
∂ ~r |
|
|
d |
|
|
N |
|
|
|
|
∂~v |
j |
|
N |
|
|
∂ ~v |
|
d |
∂T |
|
∂T |
|||||||||||||
X |
|
|
|
|
j |
= |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
Xj |
|
|
|
|
j |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
mj |
|
|
|
|
|
|
|
|
mj~vj |
|
|
|
|
− mj~vj |
|
|
|
|
|
|
− |
|
, |
||||||||||||||||
j=1 |
dt |
∂ qp |
dt |
|
j=1 |
∂ q˙p |
∂ qp |
dt |
∂ q˙p |
∂ qp |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.8) |
|||||||
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где T = |
|
|
|
|
|
/2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
j=1 mj~vj~vj |
j=1 mjvj2/2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Из |
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
равенств (4.2), (4.8) следует равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.9) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
p=1 dt ∂ q˙p − ∂ qp − Qp δqp = 0, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
d |
|
∂T |
|
|
|
|
∂T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где величина Qp , определяемая равенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
~ |
|
|
∂~rj |
|
3N |
|
∂xν |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xj |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Qp = |
=1 |
Fj |
∂ qp |
= Xν |
∂ qp |
|
|
|
|
|
|
|
(4.10) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ν=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(при очевидных обозначениях Xν), называется обобщенной силой, отвечающей обобщенной координате qp . Равенство (4.9) называют
143
Перейти к оглавлению на странице: 256
общим уравнением механики или уравнением Даламбера - Лагранжа в обобщенных координатах. Отметим, что в этом уравнении вариации δqp независимы, если на рассматриваемую механическую систему наложены только связи (1.1), и могут быть зависимыми, если на нее наложены и другие связи.
Если все силы, действующие на точки механической системы имеют потенциал (см. §13 главы 6), то компоненты Xν этих сил можно вычислить по формуле:
Xν = − |
∂Π(~x) |
ν [1 : 3N], |
(4.11) |
||||||
|
|
|
, |
||||||
∂ xν |
|||||||||
где Π(~x) потенциальная энергия этой системы. |
|
||||||||
Из равенств (4.10), (4.11) получаем: |
|
|
|
||||||
3N ∂Π(~x) ∂ x |
|
∂Π(~x(q, t)) |
|
||||||
X |
|
|
|
ν |
|
|
|
|
|
Qp = − ν=1 |
|
|
|
|
= − |
|
. |
(4.12) |
|
|
∂ xν ∂ qp |
∂qp |
|||||||
144