Перейти к оглавлению на странице: 256

§2. Основные законы динамики твердого тела

Идея твердого тела как сплошной связной неизменяемой механической системы с заданным распределением масс на ней позволяет представить себе интуитивно такое твердое тело как механическую систему из достаточно большого числа N материальных точек M , расстояния между которыми не меняются во времени. С другой стороны, такая механическая система является частным случаем общей механической системы из конечного числа материальных точек, для которой в главе 6 мы доказали ряд теорем: о движении центра масс, об изменении главного вектора количества движения, об изменении кинетического момента и об изменении кинетической энергии.

В настоящем параграфе мы будем рассматривать движение твердого тела в предположении, что для него истинны аналогичные утверждения, которые мы будем называть основными законами динамики твердого тела. Ниже мы сформулируем эти законы, но предварительно мы введем в рассмотрение ряд необходимых для этого величин (количество движения твердого тела, его кинетическую энергию и т.д.), они являются естественным обобщением соответствующих величин для механических систем из конечного числа материальных точек.

Динамические характеристики твердого тела

Основные динамические характеристики твердого тела те же, что у механической системы из нескольких материальных точек количество движения, кинетический момент (момент количества движения) и кинетическая энергия. Учитывая, что под твердым телом понимают сплошную связную неизменяемую механическую систему с заданным распределением масс на ней, для него эти характеристики вводятся аналогичными формулами, в которых конечные суммы по материальным точкам заменяются соответствующими интегралами по области, занимаемой телом, с учетом распределения масс в этой области.

~ ~ ~

Пусть (O,~eξ,~eη,~eζ) неподвижный репер, (M0, i, j, k) подвижный репер, жестко связанный с твердым телом, а ξ, η, ζ и x, y, z координаты точки M твердого тела в этих реперах. Сим-

124

Перейти к оглавлению на странице: 256

волами ~r, ~v, v = |~v| будем обозначать радиус-вектор, скорость и величину скорости этой точки твердого тела в неподвижном репере, а символами ~rA, ~vA радиус-вектор и скорость некоторой точки A (полюса) в этом же репере.

Если µ = µ(x, y, z) распределение масс твердого тела, то

D

Так как подынтегральные выражения в этих формулах зависят от скоростей точек твердого тела, а распределение скоростей этих точек дается формулой Эйлера (см. (7.10) главы 4), то используя эту формулу можно преобразовать выражения для вели-

~ ~

чин Q, KA, T .

В качестве примера мы получим сейчас формулу для кинетического момента твердого тела относительно его неподвижной точки, она понадобится нам далее.

поэтому, используя формулу Эйлера ~v = ω~ ×~r и формулу двойного векторного произведения ~r × (ω~ × ~r) = r2ω~ − (r~ω) ~r, получаем:

(2.5)

125

где J оператор инерции (см.§1).

В главных осях инерции для точки O матрица оператора J диагональна, и мы получаем:

Упражнение 2.1. Покажите, что аналогичные равенства

(2.6) – (2.8) верны и для кинетического момента ~ A относи-

K

тельно точки A, принадлежащей твердому телу (пространству, связанному с этим телом).

Главные векторы и моменты сил, действующих на твердое тело. Работа сил, действующих на твердое тело

Задание главного вектора сил и главного момента сил является составной частью задания модели динамики твердого тела (как и задание сил в модели динамики механической системы из конечного числа материальных точек). Для фактического решения этой задачи можно использовать рассмотренное выше интуитивное представление твердого тела механической системой из достаточно большого числа N материальных точек, расстояния между которыми не меняются во времени. На точки этой системы в данный момент времени действуют какие-то силы. Зная эти силы, через них можно вычислить главный вектор сил и главный момент сил системы как суммы по всем точкам системы главных векторов сил, приложенных к этим точкам, и главных моментов этих сил. Если эти конечные суммы имеют предел при N → ∞, то эти предельные величины и принимают за главный вектор сил и главный момент

126

Перейти к оглавлению на странице: 256

сил, действующих на твердое тело. На этом же пути получают и величину работы всех сил, действующих на твердое тело. Вообще же, задача вычисления главного вектора сил, главного момента сил и работы сил, действующих на твердое тело, требует отдельного рассмотрения. Здесь мы этим заниматься не будем.

Основные законы динамики твердого тела

Как мы говорили в начале настоящего параграфа, утверждения, аналогичные теоремам о движении центра масс, об изменении главного вектора количества движения, об изменении кинетического момента и об изменении кинетической энергии, в динамике твердого тела предполагаются исходными положениями этой теории и называются основными законами динамики твердого тела. В настоящем пункте мы приводим их формулировки.

Закон (теорема) о движении центра масс твердого тела состоит в том, что

где ~rc радиус-вектор центра масс твердого тела, m его масса,

~

а F главный вектор действующих на него сил.

Иначе говоря, центр масс твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе этого твердого тела, под действием силы, равной главному вектору действующих на него сил.

Закон (теорема) об изменении главного вектора количества движения твердого тела состоит в том, что

главный вектор сил, действующих на твердое тело.

Закон (теорема) об изменении кинетического момента твердого тела состоит в том, что производная кинетического момента

~ A этого тела относительно подвижного полюса A и главный мо-

K

127