Перейти к оглавлению на странице: 256

Дифференцируя первое из равенств (8.1) по t, получаем:

Этот результат формулируют обычно в виде теоремы.

Теорема 8.1. Центр масс механической системы движется так, как двигалась бы материальная точка с массой m, равной сумме масс всех точек системы, под действием силы, равной сумме сил, действующих на эти точки.

одного и того же утверждения.

Следствие 8.1. Если сумма всех сил, действующих на точки механической системы, равна нулю, то ее центр масс движется прямолинейно и равномерно.

§9. Кинетический момент относительно неподвижной точки и теорема о его изменении

радиус-вектор, скорость и массу материальной точки Mj , а сим-

~ 0 ~

волами Fj и Fj главные векторы внутренних и внешних сил, действующих на точку Mj (см. §6).

называют главным моментом соответственно внутренних сил, внешних сил и количества движения механической системы (относительно неподвижной точки O). Последний вектор называют

97

Перейти к оглавлению на странице: 256

также кинетическим моментом механической системы (относительно неподвижной точки O).

то получаем:

Что и требовалось.

Теорема 9.2. (Об изменении кинетического момента) Производная кинетического момента механической системы относительно неподвижной точки равна главному моменту внешних сил относительно той же точки, то есть:

98

Перейти к оглавлению на странице: 256

Умножая j - ое уравнение (9.4) слева векторно на ~rj и суммируя полученные равенства по всем j , приходим к равенству:

Дифференцируя ~ по t и используя равенства (9.5) и

K

приходим к равенству (9.3). Что и требовалось.

§10. Движение точки в центральном поле сил

Движение в E3 механической системы, состоящей из одной материальной точки M массы m, определяется действующей на нее внешней силой, а также ее начальным положением и скоростью. Пусть соответствующее уравнение Ньютона автономно:

положением ~r точки M в этот момент (то есть является векторфункцией ее радиус-вектора или координат). В этом случае вектор-

Отметим, что введенное так силовое поле называют также

стационарным силовым полем с тем чтобы отличать его от неста-

~

ционарного силового поля F (~r, t). Мы далее будем говорить о силовом поле имея в виду стационарное силовое поле. Случай нестационарного силового поля мы рассмотрим только в §3 главы 10 (обобщенный потенциал и уравнения Лагранжа II рода).

Поле сил называют центральным в области D E3 , если существует такая точка O E3 (центр сил), что на материальную

99

Перейти к оглавлению на странице: 256

точку единичной массы, помещенную в любую точку M D действует сила, направленная вдоль прямой, проходящей через точки

O и M . Часто при определении центрального поля предполагают

−−→

еще, что величина силы зависит только от r = |OM|. Мы также будем считать это последнее условие выполненным.

Запишем уравнение Ньютона (10.1) для случая движения материальной точки M массы m в центральном поле сил в системе координат с началом в центре сил O:

Законы сил, дающих примеры центральных силовых полей, мы рассмотрели в §4. Выпишем для этих примеров уравнения вида (10.2).

Уравнения Ньютона для двух гравитирующих точек

Рассмотрим в инерциальной системе координат с началом O движение материальных точек M0, M под действием сил их взаимного притяжения по закону всемирного тяготения. Пусть m0, m

В соответствии со вторым законом Ньютона и законом всемирного тяготения, получаем:

где γ всемирная гравитационная постоянная. Вычитая первое из этих уравнений из второго, приходим к искомому уравнению движения точки M в центральном силовом поле с центром силы в

100

Перейти к оглавлению на странице: 256

Уравнения Ньютона для двух электрических зарядов

Рассмотрим в инерциальной системе координат с началом O движение материальных точек M0, M под действием сил их взаимного притяжения или отталкивания по закону Кулона. Пусть m0, m и q0, q массы и заряды этих точек и используются обозначения:

В соответствии со вторым законом Ньютона и законом Кулона, получаем:

где k положительная постоянная. Вычитая первое из этих уравнений из второго, приходим к искомому уравнению движения точки M в центральном силовом поле с центром силы в M0 :

где k положительная постоянная, причем знак минус в (10.9) соответствует случаю притягивающихся точек (то есть случаю разноименных зарядов).

Уравнения Ньютона для точки в поле силы Гука

Рассмотрим движение материальной точки M массы m относительно системы координат с началом O под действием силы

янная, зависящая от контекста конкретной задачи. В соответствии со вторым законом Ньютона и формулой для силы Гука, получаем искомое уравнение движения точки M в центральном силовом поле с центром силы в точке равновесия O:

Теперь мы обратимся к уравнению (10.2) и применим теорему об изменении кинетического момента (теорему 9.2) к случаю движения материальной точки в центральном поле.

101

Перейти к оглавлению на странице: 256

При движении материальной точки в центральном поле, главный момент внешних сил относительно центра сил O равен нулю,

Функцию ~r × ~r˙ называют интегралом площадей, а постоянный вектор ~c и его компоненты c1, c2, c3 постоянными площадей. Если x, y, z координаты радиус-вектора ~r, то векторное равенство (10.13) можно записать в виде следующих трех скалярных равенств:

Умножая эти три равенства на x, y, z соответственно и складывая полученные так равенства, приходим к следующему уравнению неподвижной плоскости, называемой плоскостью Лапласа:

6 ~

Это означает, что если ~c = 0, то движение точки происходит в плоскости Лапласа (10.15), проходящей через центр сил O.

~

Упражнение 10.1. Рассмотрите случай ~c = 0.

Геометрическая интерпретация интеграла площадей, которую мы сейчас рассмотрим (см. ниже теорему 10.1), показывает, что в задаче о движении материальной точки в центральном поле сил наличие этого интеграла является обобщением закона Кеплера о постоянстве секторной скорости планеты, рассматриваемой как материальная точка

(см. §5).

−−−−→

Если ~r(t) = OM(t) радиус-вектор точки M(t) в момент

~ ˙ ·~ t > t0 , то ее секторной скоростью называют вектор Σ(t) = S(t) l,

где S(t) площадь фигуры, лежащей в плоскости Лапласа (10.15)

_

между векторами ~r(t0) и ~r(t), и дугой M(t0)M(t)) траектории этой

~

точки, а единичный вектор l, ортогональный плоскости (10.15), ра-

вен ~r(t) × ~r˙(t) / ~r(t) × ~r˙(t) .

102