Перейти к оглавлению на странице: 256

мгновенная ось

вращения

ρG

G

h rG

O

Рисунок 6.2

§7. Угловая скорость, формула Эйлера и движение твердого тела в общем случае

Скорость точек твердого тела в общем случае

0 ~ ~ ~

Пусть (O , i, j, k) репер, жестко связанный с твердым телом (подвижный репер), а (O,~eξ,~eη,~eζ) неподвижный репер. Тогда,

Как видим, перемещение ~r точки M складывается из перемещения ~rO0 точки O0 и вращательного перемещения Δ(~r −~rO0 ) точки M при повороте тела вокруг O0 , то есть:

74

рость вращения тела вокруг точки O0 , а ~v и ~vO0 скорости точек

M и O0 .

Теорема 7.1. Вектор ω~O0 не зависит от выбора полюса точки O0 .

Доказательство. Пусть B другой полюс, тогда истинны две

Так как это равенство истинно для любого ~r, то ω~O0 = ω~B . Что и требовалось.

Согласно теореме 7.1 вектор ω~O0 можно обозначить просто ω~ ,это угловая скорость твердого тела в общем случае. Формула (7.5) запишется в следующем виде:

это формула Эйлера в общем случае.

Следствие 7.1. Проекции скоростей любых двух различных точек абсолютно твердого тела на направление соединяющего их отрезка равны между собой.

75

Перейти к оглавлению на странице: 256

Ускорение точек твердого тела в общем случае

Дифференцируя формулу Эйлера, получаем:

Здесь ~ε = ω~˙ угловое ускорение твердого тела, ~rO0 радиусвектор точки O0 , принятой за полюс, ~vO0 , w~O0 скорость и ускорение полюса.

Векторное удаление ~r − ~rO0 произвольной точки M тела от полюса можно представить в виде:

~ − −1

где h = h~eω, h = (~r ~rO0 )~eω, ~eω = ωω~ , а %~ векторное удаление мгновенной оси вращения до точки M . Из формулы Эйлера следует, что

Первое слагаемое справа ускорение полюса, второе слагаемое называют вращательным ускорением, а третье осестремительным ускорением.

В заключение настоящего параграфа отметим, что формулы (7.1), (7.10), (7.14) являются важнейшими и наиболее общими в кинематике твердого тела (см. также текст перед §1 главы 4).

76