Перейти к оглавлению на странице: 256

ГЛАВА 8. ДИНАМИКА ТОЧКИ С ПЕРЕМЕННОЙ МАССОЙ

Практика показывает, что динамика таких объектов, как ракета, реактивный самолет, катящийся снежный ком, движущаяся капля при испарении или конденсации паров на ее поверхности и т.п. хорошо описывается моделью точки или тела переменной массы. Материальной точкой переменной массы будем называть геометрическую точку, снабженную массой, величина которой зависит от времени. Телом переменной массы естественно называть твердое тело, плотность которого есть функция не только координат, но и времени. Далее мы ограничимся рассмотрением динамики точки с переменной массой. Для того, чтобы сформулировать основное уравнение модели Мещерского динамики точки переменной массы, материальную точку переменной массы заменяют на малом временном промежутке механической системой из конечного числа материальных точек и применяют к ней теорему об изменении главного вектора количества движения.

§1. Уравнение Мещерского

Рассмотрим на промежутке времени [t, t + t] механическую систему, образованную частицами, из которых состоит материальная точка в момент времени t, и частицами, которые присоединяются к этой точке за этот промежуток времени. Будем использовать следующие обозначения:

131

Перейти к оглавлению на странице: 256

и по теореме об изменении главного вектора количества движения получаем:

~

где F (t) главный вектор внешних сил, приложенных к системе. Текущую массу точки переменной массы обычно представляют в виде m(t) = m0 + m1(t) − m2(t), где m0 = m(t0), t0 неко-

торый фиксированный момент времени, m1(t) суммарная масса частиц, присоединившихся к этой точке за время от t0 до t, а m2(t)суммарная масса частиц, отделившихся от нее за то же время.

Используя в (1.2) равенства (1.1), приходим к уравнению Мещерского движения материальной точки переменной массы:

~ur1(t) = ~u1(t) − ~v(t), ~ur2(t) = ~u2(t) − ~v(t).

Величины ~ur1(t), ~ur2(t) это относительные скорости центров масс присоединяющихся и отделяющихся частиц в момент

~

t, а величину R(t) называют реактивной силой.

Теперь мы рассмотрим шесть простых частных случаев уравнения Мещерского.

(a)Если отделяющихся от точки переменной массы частиц нет, то m2(t) = 0, m(t) = m0 +m1(t). Полагая в (1.3) ~ur(t) = ~ur1(t), в этом случае получаем уравнение:

132

Перейти к оглавлению на странице: 256

(b)Если присоединяющихся к точке переменной массы частиц

нет, то m1(t) = 0,m(t) = m0 − m2(t). Полагая в (1.3) ~ur(t) = ~ur2(t), и в этом случае получаем уравнение (1.5).

(c)Если ~ur1(t) = ~ur2(t), то, полагая ~ur(t) = ~ur1(t) = ~ur2(t), и в этом случае приходим к уравнению (1.5).

(d)Если m(t) = m0 ,dm1(t)/dt = dm2(t)/dt на рассматриваемом промежутке времени, то уравнение Мещерского можно записать в виде:

~

(e) Если ~u1(t) = ~u2(t) = 0 на рассматриваемом промежутке времени, то уравнение Мещерского можно записать в следующем виде:

rr ~

(f)Если ~u1(t) = ~u2(t) = 0 на рассматриваемом промежутке вре-

~ ~

мени, то R = 0 на этом промежутке, а уравнение Мещерского по форме совпадает с уравнением движения точки постоянной массы:

§2. Две задачи Циолковского

Первая задача

Реактивную силу (см. (1.4)), возникающую в результате истечения некоторого вещества из сопел ракеты, называют тягой. Рассмотрим движение ракеты в космическом пространстве при условии, что тяга ракеты значительно превосходит остальные действующие на нее силы (силы сопротивления среды, силы гравитационного притяжения и т.д.). В этом случае целесообразно в качестве первого приближения рассмотреть такую модель динамики ракеты, в которой все действующие на ракету силы, кроме тяги, равны нулю, а сама ракета принимается за точку переменной массы.

133

Перейти к оглавлению на странице: 256

Относительную скорость выброса частиц из сопел ракеты за-

этих условиях, первая задача Циолковского состоит в том, чтобы по заданному изменению массы ракеты за время от t0 до t найти приращение ее скорости за это же время.

Так как в этой задаче движение точки переменной массы естественно отнести к случаю (b), §1, то оно определяется уравнением

это формула Циолковского.

Вторая задача

Рассмотрим движение ракеты вертикально вверх в однородном поле силы тяжести планеты, например, Земли. В этом случае целесообразно в качестве первого приближения рассмотреть такую модель динамики ракеты, в которой на нее действует тяга, направленная вертикально вверх и однородная сила тяжести, направленная вертикально вниз, а сама ракета принимается за точку переменной массы.

Относительную скорость выброса частиц из сопел ракеты за-

менения массы ракеты как функции времени считаем заданным

где положительная величина α не зависит от времени. Символом s(t) будем обозначать путь, пройденный ракетой (точкой переменной массы) за время t при s(t0) = 0.

134

Перейти к оглавлению на странице: 256

В этих условиях, вторая задача Циолковского состоит в том, чтобы найти закон изменения s(t) по заданным величинам α, m(t0) и начальному значению v(t0) величины ее скорости.

Как и в первой задаче, здесь движение точки переменной массы относится к случаю (b), §1, поэтому оно определяется уравнением

где ~g ускорение свободного падения в данном однородном поле силы тяжести, направленное вертикально вниз. Проектируя это

Используя обозначение q = αur/g и равенство dm/m = −αdt, из этого уравнения находим ускорение, скорость и путь точки (t0 = 0):

+ v(0) t.

(2.7)

Упражнение 2.1. Активным называют участок траекто-

рии от ее начальной точки до точки, которой ракета достигнет в момент полного выгорания горючего. Считая известными массу m1 ракеты без топлива, ее массу m(0) при t = 0, постоянную α и величину v(0) начальной скорости ракеты, найти конечный момент t1 активного участка траектории ракеты и длину s1 этого участка.

135