Перейти к оглавлению на странице: 256

ГЛАВА 6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Мы рассмотрим здесь движение одной или нескольких точек (системы точек) в аффинном евклидовом пространстве E3 . Под системой координат далее будем понимать это пространство с каким-то определенным его репером. Началом системы координат будем называть начало этого репера, а осями координат прямые, проходящие через начало и сонаправленные с ортами репера. Так как систему координат можно геометрически отождествить с твердым телом, то можно говорить о движении одних систем координат относительно других.

§1. Принцип детерминированности и уравнение Ньютона

Пусть ~ri, i [1 : n] радиус-векторы точек Mi рассматриваемой системы из n точек относительно некоторого репера. Будем использовать также обозначение ~r = ~r(t) = (~r1(t), . . . , ~rn(t)) для положения этой системы в момент t.

Принцип детерминированности заключается в том, что движение любой такой системы точек однозначно определяется ее положением ~r(t) и скоростью ~r˙(t) в любой момент t. В частности, эти величины определяют и ускорения точек, то есть существует

~

Это уравнение Ньютона. Предполагается, что F удовлетворяет условиям существования и единственности решения задачи Коши, состоящей из уравнения (1.1) и начальных условий:

С точки зрения механики Ньютона как математической мо-

~

дели, задание F для некоторой механической системы является составной частью определения этой модели.

84

Перейти к оглавлению на странице: 256

§2. Инерциальные системы координат

Важным понятием классической модели динамики Ньютона является инерциальная система координат. Ее определение включает в себя закон инерции Галилея-Ньютона и принцип относительности Галилея.

Закон инерции Галилея-Ньютона

Опыт показывает, что ускорение тел может вызываться двумя причинами: действием на них других тел и/или свойствами системы координат (в различных системах координат в один и тот же момент тело может иметь различные ускорения).

Закон инерции Галилея-Ньютона состоит в том, что существуют системы координат K , удовлетворяющие свойству:

(а) точка, не подверженная действию других тел, движется относительно системы координат K прямолинейно и равномерно (или, как говорят, по инерции)

Любая другая система координат K0 , движущаяся прямолинейно и равномерно относительно системы координат K , удовлетворяющей свойству (а), также удовлетворяет этому свойству.

В качестве примера отметим, что в классической модели небесной механики Ньютона полагают, что свойству (а) удовлетворяет гелиоцентрическая система координат с осями координат, направленными на неподвижные звезды. Этот факт или даже просто свойство (а) называют первым законом Ньютона.

Принцип относительности Галилея

Пусть ~r = ~r(t), ~r 0 = ~r 0(t) положение точки M относительно двух реперов (O,~e1,~e2,~e3), (O0,~e 01,~e 02,~e 03). Взаимное положение этих реперов определяется формулами, связывающими их начала O, O0 и орты (~e1,~e2,~e3), (~e 01,~e 02,~e 03). Сейчас нам понадобятся три такие формулы:

85

Перейти к оглавлению на странице: 256

тогональная матрица, которую мы рассматривали в главе 4 (кинематика твердого тела). Эти формулы описывают соответственно поворот репера (O,~e1,~e2,~e3) вокруг своего начала, его сдвиг на вектор ~a и семейство его сдвигов на векторы t · ~v при t R. Механический смысл формулы (2.3) состоит в том что репер (O0,~e 01,~e 02,~e 03), рассматриваемый как твердое тело, движется относительно (O,~e1,~e2,~e3) поступательно и прямолинейно с постоянной скоростью ~v , или, как говорят, прямолинейно и равномерно.

Формулам (2.1), (2.2), (2.3) соответствуют следующие формулы преобразования координат точки M , которые мы запишем в

Кроме этих преобразований, рассмотрим преобразование сдвига времени t по формуле

которое имеет смысл выбора нового начала t0 отсчета времени. Суперпозиции преобразований (2.4) – (2.7) называют преобра-

зованиями Галилея. Множество преобразований Галилея образует группу относительно операции суперпозиции, она называется группой Галилея . Принцип относительности Галилея состоит в том, что существует система координат K , удовлетворяющая свойству:

~˙

(б)правая часть F (~r, ~r, t) уравнения Ньютона (1.1) в системе координат K инвариантна относительно преобразований группы

.

Системы координат K , удовлетворяющие свойствам (а),(б), называют инерциальными.

Следствия принципа относительности

86

Перейти к оглавлению на странице: 256

координат, ряд ограничений. Некоторые из них мы здесь рассмотрим.

~˙

1.Инвариантность F (~r, ~r, t) относительно сдвигов времени t означает, что если ~r = ϕ~(t) решение уравнения Ньютона (1.1), то при любом τ R его решением будет и %~ = ϕ~(t+τ), а это означает, что уравнение (1.1) естественно считать автономным:

(это свойство выражают еще словами: законы механики Ньютона не меняются во времени).

С другой стороны, это свойство не означает, что механика Ньютона имеет дело только с автономными уравнениями (2.8), неавтономные уравнения возникают, в частности, в результате различных замен переменных в этих автономных уравнениях.

~˙

2.Из инвариантности F (~r, ~r, t) относительно сдвигов ~r на любой постоянный вектор ~a следует, что если ~ri = ϕ~i(t), i = 1, . . . , n

движение точек M1, . . . , Mn , удовлетворяющее уравнению Ньютона (1.1), то при любом ~a E3 движение %~i = ϕ~i(t) + ~a, i = 1, . . . , n также является решением уравнения (1.1) (это свойство выража-

ют еще словами: пространство однородно). Отсюда следует, что

а ко всем векторам ~r˙i добавляют постоянный вектор ~v ) следует,

~ ˙

что величина F (~r, ~r, t) может быть записана как функция величин

~r˙j − ~r˙k, j, k = 1, . . . , n вместо величин ~r˙i, i = 1, . . . , n.

Итак, в инерциальной системе координат уравнение Ньютона, определяющее движение n точек, может быть записано в виде:

~˙

4.Инвариантность F (~r, ~r, t) относительно преобразований вида (2.4) выражают словами: пространство изотропно. Это свойство можно проверить для конкретных моделей уравнений Ньютона. С другой стороны, изотропность всегда можно иметь в виду

87