Перейти к оглавлению на странице: 256

где k положительная постоянная (коэффициент сопротивления среды), зависящая от среды и тела, а ~v скорость движения тела относительно среды.

~

Силу F , действующую на тело в его поступательном движении (не обязательно прямолинейном), задают формулой

где S площадь фигуры (проекции тела на плоскость перпендикулярную ~v ).

§5. Две задачи динамики

Первая задача динамики (обратная задача) заключается в построении уравнений движения механических систем, состоящих из материальных точек и/или твердых тел, по заданным их движениям и/или свойствам движений в E3 (но, надо отметить, не обязательно в инерциальной системе координат). Законы сил, приведенные в §4 получены в результате решения подобных задач. В частности, задача Ньютона, результатом решения которой явился закон всемирного тяготения, состоит в определении силы, под действием которой планеты (материальные точки) совершают движения вокруг Солнца (материальной точки), удовлетворяющие следующим свойствам (законам Кеплера):

– орбиты (траектории движения) планет являются эллипсами, в одном из фокусов которых находится Солнце;

– секторные скорости планет постоянны (если Φ фокус эллипса,

−−−−→

в котором расположено Солнце, а ~r(t) = ΦM(t) радиус-вектор планеты M(t) в момент t > t0 , то ее секторной скоростью назы-

щей в плоскости эллипса между векторами ~r(t0) и ~r(t) и дугой

_

~

M(t0)M(t) эллипса, а единичный вектор l, ортогональный плоско-

Обратные задачи динамики составляют специальный раздел аналитической динамики.

93

Перейти к оглавлению на странице: 256

Вторая задача динамики (прямая задача) состоит в определении движений механической системы по известным силам. Применительно к случаю механической системы, состоящей из одной материальной точки, эта задача состоит в нахождении ее движения

Задача (5.1), (5.2) (и, тем более, аналогичные задачи для более сложных механических систем), как правило, не разрешается в виде суперпозиции элементарных и других специальных функций математического анализа, поэтому для ее решения применяют приближенные методы (численные и аналитические), а для исследования свойств решений используют качественные методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

§6. Уравнения движения механической системы

Здесь термином механическая или материальная система мы называем конечное множество материальных точек.

Силы взаимодействия между материальными точками механической системы называют внутренними силами. Силы, действующие на материальные точки системы, вызванные материальными объектами, не входящими в состав рассматриваемой механической системы, называют внешними силами. Геометрическую сумму всех внешних (внутренних) сил, действующих на материальную точку, называют главным вектором внешних (внутренних) сил, действующих на эту точку. Главные векторы внешних и внутренних сил, действующих на материальную точку Mj , обозначим символами

~ ~ 0

Fj и Fj соответственно, а массу этой точки обозначим mj . Выписывая для всех точек механической системы уравнение

Ньютона (5.1) получаем систему обыкновенных дифференциаль-

94

Перейти к оглавлению на странице: 256

которые называют уравнениями движения механической системы.

Эти уравнения определяют движение механической системы

впространстве E3 , но, как уже отмечалось в §5, не обязательно

винерциальной системе координат. Хотя существование инерциальных систем координат и рассмотрение движений относительно них и составляет важнейшую часть механики Ньютона, это никак не исключает возможности и полезности изучения движений

вдругих реперах, перемещающихся ускоренно относительно инерциальной системы. Например, движение Солнечной системы можно рассматривать в инерциальной системе координат, связанной с "неподвижными"звездами и, с другой стороны, движение спутника Земли естественно рассмотреть относительно репера с началом

в"центре"Земли. От записи уравнения (6.1) относительно одного репера можно перейти к его записи относительно другого репера при помощи соответствующей замены переменных.

Сдругой стороны, очевидно, что не всякая замена переменных

в(6.1) сохранит такой вид этих уравнений. В этой связи отметим, что когда говорят об уравнениях Ньютона, то имеют в виду именно уравнения (6.1), описывающие движение механической системы

впространстве E3 , но не обязательно в инерциальной системе координат. Как в случае инерциальной, так и в случае неинерциальной системы координат, запись уравнений движения механической системы в виде (6.1) предполагает выполнение второго и третьего закона Ньютона. Это предположение является неотемлемой составной частью механики Ньютона.

Ради экономии места, далее вместо громоздких обозначений

~ ˙ ~ 0 ˙

Fj(~r1, . . . , ~r1, . . . , t), Fj(~r1, . . . , ~r1, . . . , t) мы часто будем использо-

~ ~ 0

вать обозначения Fj, Fj соответственно.

§7. Теорема об изменении главного вектора количества движения

Кроме обозначений §6, введем в рассмотрение векторы

X X X

~ ~ ~ 0 ~ 0 ~

F = Fj, F = Fj, Q = mj~vj, (7.1)

j j j

где ~vj = ~r˙j скорость точки Mj . Эти векторы называют глав-

95

Перейти к оглавлению на странице: 256

ным вектором внешних сил, главным вектором внутренних сил и главным вектором количества движения механической системы соответственно.

Согласно третьему закону Ньютона, любой внутренней силе механической системы отвечает другая внутренняя сила, уравно-

~ 0 ~

вешивающая первую, поэтому F = 0.

Теорема 7.1. Если использовать обозначения (7.1), то истинны формулы:

Доказательство. Ясно, что в (7.2) представлены три равносиль-

ных варианта записи одной и той же формулы, а первую из формул мы получим, если просуммируем уравнения (6.1) по всем j и учтем,

этому теорему 7.1 можно сформулировать в любом из следующих вариантов:

–производная главного вектора количества движения механической системы равна главному вектору сил;

–дифференциал главного вектора количества движения механической системы равен элементарному импульсу силы;

–приращение главного вектора количества движения механической системы равно импульсу силы.

§8. Уравнение движения центра инерции

Центр масс (или центр инерции) это точка C , радиусвектор ~rC которой (относительно некоторой точки O) определяется формулой:

XX

где ~rj радиус-вектор точки Mj относительно точки O.

96