Перейти к оглавлению на странице: 256
Теорема 10.1. Пусть материальная точка M(t) массы m
движется в центральном поле сил с центром сил O E3 и
−−−−→
пусть ~r(t) = OM(t) радиус-вектор этой точки. Тогда, если
~
Σ(t) секторная скорость точки M(t), то:
Σ(~ t) = |
1 |
~r(t) × ~r˙(t) = |
1 |
· ~c, |
(10.16) |
||
2 |
|
2 |
|
||||
где ~c постоянная площадей в равенстве (10.13).
Доказательство. Так как второе из равенств в (10.16) совпадает с равенством (10.13), то нам остается доказать первое из них.
Пусть h > 0 и используются обозначения: |
|
|
|
|||||||||||||
h~r(t) = ~r(t + h) − ~r(t), |
|
hS(t) = S(t + h) − S(t). |
(10.17) |
|||||||||||||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hS(t) = 21 |~r(t) × h~r(t)| + o(h)(h → 0), |
|
|
|
|||||||||||||
~l = ~r(t) × ~r˙(t) / |
~r(t) × ~r˙ |
(t) . |
|
|
|
(10.18) |
||||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
˙ |
|
|
|
|
˙ |
|
|
|
hS(t) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
S(t~ |
h˙→0 |
|
|
|
|
= |
2 |
|
˙ |
× |
~r(t) |
, |
(10.19) |
|||
|
~h |
1 |
|
|||||||||||||
|
) = lim |
|
|
l = 2 |
|
~r(t) |
|
|
|
|||||||
|
Σ(t) = S(t) |
|
~r(t) |
|
~r(t) . |
|
|
|||||||||
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
Что и требовалось доказать.
§11. Изменение кинетического момента, вычисляемого относительно подвижного полюса
Нам потребуется вспомнить здесь некоторые старые обозначения и ввести ряд новых. Из старых обозначений нам потребуются те, которые использовались в §10, а также радиус-вектор цен-
тра масс системы ~rc = m−1 |
j mj~rj , m = |
j mj и главный век- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
m ~v |
Символами ~r ,~v |
|
, w~ |
|
||
|
|
|
|
|
Q = |
|
j |
A |
A |
|||||
тор ее количества движенияP |
|
j |
j . P |
A |
|
|
||||||||
|
радиус-вектор, скорость и ускорение некоторой точки |
|||||||||||||
обозначим |
|
|
3 |
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
A = A(t) E |
|
, движущейся относительно некоторого репера с на- |
||||||||||||
чалом в точке O, и введем в рассмотрение величины: |
|
|
|
|
||||||||||
M~ A = Xj |
(~rj − ~rA) × F~j, K~ A = Xj |
(~rj − ~rA) × mj(~vj − ~vA), |
(11.1) |
|||||||||||
103
Перейти к оглавлению на странице: 256
вектор-функции ~ A, ~ A называют главным моментом соответ-
M K
ственно внешних сил и количества движения механической системы относительно подвижного полюса A. Последний вектор называют также кинетическим моментом механической системы
относительно подвижного полюса A.
Теорема 11.1. (Об изменении кинетического момента)
Производная кинетического момента механической системы относительно подвижного полюса A и ее главный момент внешних сил относительно того же полюса связаны равенством:
|
d |
~ |
~ |
|
|
dt |
KA + m(~rc − ~rA) × w~A = MA, |
(11.2) |
|
где ~ A, ~ A определяются по формулам (11.1), ~rc радиус-
M K
вектор центра масс системы, а ~rA, w~A радиус-вектор и ускорение полюса A.
Доказательство. Так как
|
|
|
~ |
~ |
|
|
P |
|
|
A |
|
|
|
|
|
c |
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
KA = K − |
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
(11.3) |
||||||||||
|
|
|
~ |
j mj~rj × ~vA − |
~rA |
j mj(~vj − ~vA) = |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
× |
~ |
− |
m(~r |
− |
~rA) |
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
K − |
~r |
Q |
~vA, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
то, подставляя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
K = KA |
+ ~rA × Q + m(~rc − ~rA) × ~vA |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
d |
|
~ |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в равенство |
|
dt |
K = M (см. (9.3)), получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
˙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
KA = M −~vA × Q |
− |
~rA × Q − m~vc ×~vA − m(~rc −~rA) × w~A. (11.5) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
~ |
˙ |
Pj |
~ |
|
|
|
|
|
|
Используя здесь формулы |
|
= |
~r |
|
~ |
, m~v |
|
= |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
F |
, Q = |
F |
|
|||||||||||||||||||
Q~ , получаем равенство (11.2). |
|
M |
|
Pj |
j |
× |
j |
|
j |
|
c |
|
||||||||||||||||
Что и требовалось доказать.
Следствие 11.1. Если при любом t полюс A = A(t) совпадает с центром масс системы или движется прямолинейно и равномерно, то равенство (11.2) становится таким же по форме, как равенство (9.3).
104
Перейти к оглавлению на странице: 256
Упражнение 11.1. Докажите, что
X
~ c = (~rj ~rc) mj~vj. (11.6)
K − ×
j
~
Указание: При любом векторе P , не зависящем от j , истинно равенство
X
~ |
~ |
(11.7) |
mj(~rj − ~rc) × P |
= 0. |
j
105
Перейти к оглавлению на странице: 256
§12. Работа силы и изменение кинетической энергии материальной точки
Рассмотрим уравнение движения в E3
~
M массы m, на которую действует сила F :
d~v |
~ |
|
m |
|
= F . |
dt |
||
материальной точки
(12.1)
Пусть v = |~v|, а T = mv2/2 кинетическая энергия материальной точки M . Умножая уравнение (12.1) скалярно на d~r, получаем равенство:
~ |
(12.2) |
dT = F d~r. |
Мы получили, что дифференциал кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе главного вектора сил, приложенных к этой точке. Равенство (12.2) называют теоремой об изменении кинетической энергии материальной точки в дифференциальной форме.
Вместо равенства (12.2), записанного в терминах бесконечно малых величин, можно получить равенство относительно конечных величин, умножив скалярно равенство (12.1) на ~v или разделив равенство (12.2) на dt:
dT |
~ |
|
dt |
= F~v. |
(12.3) |
|
|
_ |
Пусть M0 = M(t0), M = M(t) при t > t0 , а M0M дуга траектории между этими положениями рассматриваемой материальной точки. Символами X, Y, Z обозначим координаты вектора
~ ~
F в рассматриваемом репере (их называют компонентами силы F в этом репере).
Считая траекторию точки и силу на траектории кусочно-
гладкими и взяв криволинейный интеграл от равенства (12.2) по
_
дуге M0M , получаем:
ZZ
T − T0 = A, A = |
~ |
_ (Xdx + Y dy + Zdz), (12.4) |
_ F d~r = |
||
|
M0M |
M0M |
106