Перейти к оглавлению на странице: 256

Подставляя (3.21) в (3.22) получаем:

Мы доказали, что функция W (q1, q2, t1, t2) задает s + 1- параметрическое семейство решений уравнения Гамильтона - Якоби по переменным q2, t2 при таких значениях параметров q1 = (q11, ..., qs1), t1 , что (q1, q2, t1, t2) DW (напомним, что выше символом DW мы обозначили область определения функции действия W (q1, q2, t1, t2) см. (3.18)).

§4. Интегральный принцип наименьшего действия при изохронном варьировании (Принцип Гамильтона)

Пусть q = (q1, ..., qs) лагранжевы координаты голономной механической системы, имеющей s степеней свободы и находящейся под действием только потенциальных сил. Если (t1, t2) произвольный временной промежуток и

Принцип Гамильтона. Пусть все действующие на механическую систему активные силы потенциальны, а ее движения стеснены только голономными идеальными связями, выраженными равенствами. Тогда истинные движения этой системы,

182

Перейти к оглавлению на странице: 256

удовлетворяющие условиям (4.1), принадлежат тому подмножеству множества всех кинематически возможных ее движений, для которых выполнено равенство (4.2).

Заметим, что этот принцип Гамильтон сформулировал и обосновал для случая стационарных связей (в приведенной формулировке предполагается, что связи могут быть и нестационарными), а на случай нестационарных связей его обобщил Остроградский.

Принцип Гамильтона (для рассматриваемого класса механических систем) означает, что среди всех кинематически возможных движений с заданными начальным и конечным положением истинное движение (но не обязательно только оно) таково, что вычисленная для него изохронная вариация действия равна нулю (иначе: “действие на истинном движении имеет стационарное значение по Гамильтону”).

Чтобы сформулированное утверждение можно было считать принципом, следует показать, что его можно положить в основу некоторого раздела механики (в данном случае, механики голономных систем с идеальными связями, находящихся под действием только потенциальных сил). Покажем, что из (4.2) следуют уравнения Лагранжа второго рода. Так как

t1

Методом “от противного” покажем, что подынтегральное выражение в (4.5) равно нулю при любом t (t1, t2). Пусть при неко-

183

Перейти к оглавлению на странице: 256

0(< 0). Тогда существует такой промежуток (τ1, τ2) (t1, t2)(при

Из принципа Гамильтона для случая интервала (t1, t2) следует очевидно аналогичное утверждение с заменой этого интервала на любой его подынтервал. В качестве такого подынтервала возьмем (τ1, τ2), а в качестве вариаций координат величины (τ2 − t) (t − τ1) δ q , обращающиеся в ноль при t = τ1, t = τ2 . Тогда, по аналогии с (4.5), получим

τ2

но этого не может быть, так как подынтегральная функция больше нуля (меньше нуля) при t (τ1, τ2). Таким образом,

и уравнения Лагранжа второго рода следуют из независимости вариаций δ qi .

§5. Интегральный принцип наименьшего действия при изоэнергетическом варьировании (Принцип ЭйлераЛагранжа)

Как и в предыдущих разделах, рассмотрим голономную механическую систему с идеальными связями, имеющую s степеней свободы и находящуюся под действием только потенциальных сил. Пусть, кроме того, лагранжевы координаты q1, ..., qs этой системы связаны с ее декартовыми координатами стационарными соотношениями и пусть ∂ H/∂ t = 0, где H гамильтониан. Как мы показали ((2.7), глава 11), в этом случае функция H = T + Π аргументов q1, ..., qs ,q˙1, ..., q˙s есть первый интеграл уравнений движения, то есть

где величина h (постоянная энергии) принимает свое значение для каждого конкретного движения системы. Из этого следует также,

184

Перейти к оглавлению на странице: 256

что

В настоящем разделе мы будем иметь дело с полными вариациями координат, времени и функционалов (см. §3). В качестве этих вариаций можно, вообще говоря, рассматривать произвольные вариации, совместимые со связями, наложенными на систему (кинематически возможные вариации). Мы поступим по-другому: среди кинематически возможных вариаций выделим для дальнейшего рассмотрения только те, которые соответствуют выполнению равенства (5.1) , из которого следует, что

где h = H = T + Π рассматривается как функция аргументов q1, ..., qs ,q˙1, ..., q˙s . Это условие можно удовлетворить бесконечным числом способов. Мы будем считать вариации q независимыми, а t выберем так, чтобы удовлетворялось условие (5.3) (искомая формула для t, к которой мы придем, (5.11)).

185

Перейти к оглавлению на странице: 256

где T2 квадратичная форма по q˙i , откуда следует, что

общих чертах, он формулируется как принцип наименьшего действия в терминах полных вариаций и с учетом равенства (5.11).

Обратимся к формуле для полной вариации функционала дей-

ствия:

t2

Z

t1

(см. (3.17)). Величины t1, t2 , как и ранее, считаем параметрами, удовлетворяющими условиям t < t1 < t2 < t , где [t , t ] промежуток, на котором определено кинематически возможное движение q0(t). Принимая также условия

Кроме того, из (5.2) следует, что

186

Перейти к оглавлению на странице: 256

поэтому

(полная вариация действия по Лагранжу равна нулю) для любого промежутка (t1, t2) [t , t ]. Для того, чтобы сформулировать принцип Эйлера-Лагранжа, нам остается принять, что при вычислении полной вариации действия по Лагранжу величина t2 определяется по формуле (5.11) при t = t2 и t1 = 0, - в этом случае (при учете также и (5.13)) оказывается, что действие по Лагранжу, а значит и равенство (5.16) не зависят явно от t1 и t2 .

Принцип Эйлера-Лагранжа. Пусть все действующие на механическую систему активные силы потенциальны, ее движение стеснено только голономными идеальными связями, выраженными равенствами, лагранжевы координаты q1, ..., qs системы связаны с ее декартовыми координатами стационарными соотношениями, а ее гамильтониан не зависит от времени явно. Тогда истинные движения этой системы, удовлетворяющие условиям (5.13), принадлежат тому подмножеству множества всех кинематически возможных ее движений, для которых выполнено равенство (5.16) с учетом того, что

Иначе говоря, принцип Эйлера-Лагранжа (для рассматриваемого класса механических систем) означает, что среди всех кинематически возможных движений данной механической системы, удовлетворяющих условиям (5.13), истинное движение таково, что для него полная вариация действия по Лагранжу равна нулю (“действие на истинном движении стационарно по Лагранжу”), причем при вычислении вариации действия по Лагранжу величина t2 находится по формуле (5.17).

187