Перейти к оглавлению на странице: 256

ГЛАВА 14. ТЕНЗОРЫ

§1. Сопряженные пространства

Пусть V векторное пространство над полем K . Само поле K рассмотрим как векторное пространство над полем K или каким-либо его подполем Λ (например, векторное пространство C над полем R или Q или векторное пространство R над полем Q и

K) (f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2), f(ax) = a f(x)).

Множество V линейных функционалов на V наделим структурой векторного пространства над полем K , полагая

( f, f1, f2 V ) ( x V ) ( a K)

((f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x), (af)(x) = af(x)) .

Векторное пространство V называют дуальным, двойственным или сопряженным к V . При рассмотрении одновременно пространств V и V иногда используют специальную терминологию. Элементы из V называют контравариантными векторами, а элементы из V – ковариантными векторами. Часто элементы из V называют просто векторами, а элементы из V ковекторами. Векторы одинаковой природы (то есть либо два или более вектора, либо два или более ковектора) называют когредиентными, а векторы разной природы – контрагредиентными. При рассмотрении сумм используют сокращения: символами aibi , aibi обозначают со-

n и пусть (e1, . . . , en) некоторый его базис. Символом ei обозначим такой элемент пространства V (то есть такой линейный функционал на V ), что ( x V ) ei(x) = xi , где x = xiei . Это означает, что функционал ei сопоставляет каждому вектору x пространства V его i-ую координату xi в базисе (e1, . . . , en). Так как

208

Перейти к оглавлению на странице: 256

ei(x) = ei(xjej) = xjei(ej), то можно дать следующее равносильное описание функционала ei :

1, i = j;

0, i 6= j.

Это равенство называют условием сопряженности (или двойственности, или дуальности) базисов, что согласуется со следующей теоремой.

Теорема 1.1. (о базисе сопряженного пространства) После-

довательность (e1, . . . , en) базис пространства V . Следствие 1.1. dim V = dim V .

Замечание 1.1. Базис (e1, . . . , en) называют дуальным, двой-

ственным или сопряженным базису (e1, . . . , en) пространства V .

Доказательство. Докажем линейную независимость элементов

209

Перейти к оглавлению на странице: 256

Так как det A 6= 0, то

Найдем βji , β0ji : для этого используем условие дуальности:

e0i (e0j) = δji . Расписывая его левую часть при помощи (1.1) и (1.3), получим связь между базисами:

Теперь получим связь между координатами вектора из V в двух базисах, а также между координатами ковектора из V в двух дуальных базисах.

210

Перейти к оглавлению на странице: 256

Пусть x V, l V , а xi, x0i и li, l0i их координаты в {ei},

no

§2. Два определения тензора и их эквивалентность

Первое определение тензора

Полилинейную (т.е. линейную по каждому аргументу) функцию T : V × . . . × V × V × . . . × V → R1 называют k раз ко-

вариантным, m раз контравариантным тензором или тензором

валентности k + m. Про такой тензор говорят, что он смешанный типа (k, m). Тензор типа (0, m) называют просто контравариантным, а типа (k, 0) ковариантным.

Координатное представление и второе определение тензора

Пусть {e1, . . . , en}, {e01, . . . , e0n} базисы векторного про-

В §1 были рассмотрены следующие формулы, связывающие

211

Перейти к оглавлению на странице: 256

эти базисы и координаты (см. (1.1), (1.2), (1.5)-(1.8)):

(2.1) Здесь какая-то из формул (t1) и (t2) считается исходной свя-

зью между базисами, остальные получены из нее. Матрицы

выбора тензора (полилинейной функции T );

выбора базиса {ei} в V ;

выбора номеров у векторов основного базиса {ei} и ковекторов

дуального базиса ei (он перенумерован так же, как исходный). Эти величины Tikj называют координатами тензора (или его компонентами) в базисе {ei}. Перейдем к новому базису, исполь-

зуя формулы связи (2.1):

(2.5)

= T emαim, epαjp, eqα0kq = αimαjpα0kq T (em, ep, eq) ,

212

Перейти к оглавлению на странице: 256

то есть

Совершенно аналогично получаем:

Теперь можно дать другое определение тензора: говорят, что задан тензор типа (k, m), если в каждом базисе задан (упорядоченный) набор из nk+m чисел, причем любые два набора (в базисе {ei} и в базисе {e0i}) связаны формулами (2.7).

Равносильность двух определений тензора

(а)Пусть дан тензор в первом определении – как полилинейное отображение, тогда, как мы показали, каждой системе коор-

няющийся при переходе к другому базису по формулам (2.7), то есть дан тензор во втором определении.

(б)Обратно, пусть даны наборы чисел в базисах, согласованные по (2.7).

мулами (2.7)), то придем к тому же полилинейному отображению. Действительно, пусть аналогично предыдущему в базисе {e0i} опре-

213