Перейти к оглавлению на странице: 256
ГЛАВА 9. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ МЕХАНИКИ
Мы будем рассматривать здесь механическую систему из конечного числа материальных точек Mj массы mj, j [1 : N]. Символом ~rj будем обозначать радиус-вектор точки Mj в некотором репере (O,~e1,~e2,~e3). Кроме того, мы будем использовать обозначение ~x = (x1, . . . , x3N ) R3N , где x3j−2, x3j−1, x3j координаты радиус-вектора ~rj = x3j−2~e1 + x3j−1~e2 + x3j~e3 , j [1 : N].
§1. Cвязи, реакции. Обобщенные кооpдинаты
Связями называют условия, которые налагают ограничения на движение механической системы. Эти условия математически выражают в виде равенств или неравенств, связывающих между собой координаты, скорости точек системы и время, а возможно и другие величины, например, ускорения точек.
Связи, как правило, осуществляются в виде тел, стесняющих свободное движение точек системы. В отличие от свободного, движение системы, стесненное связями, называют несвободным.
Если бы механическую систему не стесняли связи (то есть если бы механическая система была свободной), то под действием заданных сил она, вообще говоря, двигалась бы с другим ускорением, чем при наличии связей. Это означает, что связи действуют на точки системы как некоторые силы, которые принято называть реакциями связей. В отличие от них, заданные силы называют активными силами.
Связи классифицируют по тем или иным свойствам изображающих их уравнений. В этой классификации легко сориентироваться по следующей таблице:
Уравнение связи |
Наименование связи |
˙ |
– односторонняя, неудерживающая |
f(~x, ~x, t) > 0 (<, >, 6) |
|
˙ |
– двусторонняя, удерживающая |
f(~x, ~x, t) = 0 |
|
˙ |
– нестационарная, реономная |
f(~x, ~x, t) = 0 (>, <, >, 6) |
|
˙ |
– стационарная, склерономная |
f(~x, ~x) = 0 (>, <, >, 6) |
|
f(~x, t) = 0 (>, <, >, 6) |
– геометрическая, голономная |
˙ |
– кинематическая, неголономная |
f(~x, ~x, t) = 0 (>, <, >, 6) |
С голономными связями мы уже имели дело в кинематике
137
Перейти к оглавлению на странице: 256
((1.4), глава 4). Механическую систему, движение которой стеснено только голономными связями, называют голономной, в противном случае неголономной. Далее мы, как правило, будем рассматривать механические системы с голономными связями, выраженными уравнениями в виде равенств.
Пусть на механическую систему наложены голономные связи, выражаемые равенствами:
|
|
|
|
|
|
f(~x, t) = 0, |
|
|
|
|
|
(1.1) |
|||
где f = (f , . . . , f |
|
) |
|
C2( |
(t |
, t |
)), t |
|
< t |
|
, а |
M |
область в |
||
R |
3N |
1 |
m |
|
M × |
1 |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
||
|
. При этом мы не исключаем, вообще говоря, что на эту систе- |
||||||||||||||
му могут быть наложены и другие связи, как голономные, так и неголономные. Связи (1.1) считаем независимыми в M, а точнее, предполагаем, что ранг матрицы Якоби (∂fi/∂xk) равен m при
~x M, t (t1, t2). |
а B область в |
R |
s |
. Если задана |
|
Пусть s = |
3N − m, |
|
|||
вектор-функция |
~ |
(ξ1(q, t), . . . , ξ3N (q, t)) |
аргументов q = |
||
ξ(q, t) = |
|||||
(q1, . . . , qs) B, t (t1, t2), дважды непрерывно дифференцируемая на множестве B × (t1, t2) и удовлетворяющая там равенству
~ |
|
f(ξ(q, t), t) = 0, то переменные q = (q1, . . . , qs) называют лагранже- |
|
выми или обобщенными координатами. |
|
Если q = (q1, . . . , qs) обобщенные координаты, то векторы |
|
~x = (x1, . . . , x3N ), ~rj можно выразить через них: |
|
~x = ~x(q, t), ~rj = ~rj(q, t), j [1 : N], |
(1.2) |
эти функции удовлетворяют связям (1.1). Если движение механической системы стеснено только связями (1.1), то обобщенные координаты q1, . . . , qs можно считать независимыми величинами. В этом случае, s число степеней свободы положения механической системы и, при (q, t) B × (t1, t2), ранг матрицы Якоби (∂xν/∂qp) равен s. Действительно, так как эта матрица имеет размеры (3N − m) × 3N , то ее ранг k удовлетворяет неравенству k 6 3N − m. С другой стороны, по теореме о неявных функциях, функции x1, . . . , x3N должны удовлетворять 3N − k независимым уравнениям. Так как рассматриваемая механическая система стеснена только m связями (1.1), то 3N − k 6 m, то есть k > 3N − m = s.
138
Перейти к оглавлению на странице: 256
Таким образом, из элементов матрицы Якоби (∂xν/∂qp) можно составить матрицу s-го порядка с ненулевым определителем, а тогда обобщенные координаты q1, . . . , qs можно выразить в виде дважды непрерывно дифференцируемых функций декартовых координат. Из равенств (1.2) получаем следующие формулы:
|
|
|
|
|
|
s ∂ x |
|
∂ x |
ν |
|
||
|
|
|
x˙ |
= |
|
|
|
ν |
q˙ + |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ν |
|
|
=1 ∂ qp |
p |
∂ t |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
s ∂ ~r |
|
pP |
|
|
|
|
(1.3) |
||||
|
|
|
∂ ~r |
|
|
|
|
|
|
|||
~vj = |
pP |
j |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
=1 ∂ qp q˙p + ∂ t , ν [1 : 3N], j [1 : N]. |
||||||||||||
§2. Изохронные ваpиации
Введем в рассмотрение понятия истинного и виртуального пе-
ремещения. Истинным перемещением механической системы |
мы |
|
будем называть ее перемещение ~x за время от t |
до t + |
t. |
Естественно, что эту величину мы будем обозначать |
также |
~rj , |
j [1 : N]. Соответственно, истинное перемещение за бесконечно малый промежуток времени dt есть бесконечно малое перемещение d ~x, которое мы обозначаем также d~rj , j [1 : N].
Если на механическую систему наложены стесняющие ее движение связи, то в каждый момент t о них естественно судить по совокупности возможных перемещений при этом неизменном значении t, совместимых с уравнениями связей, так как эта совокупность зависит только от положения системы в данный момент и от связей. Любое совместимое со связями бесконечно малое перемещение, которое может быть сообщено механической системе при неизменном t, называют виртуальным перемещением этой системы в этот момент. Виртуальное перемещение механической системы будем обозначать δ~x и δ~rj , j [1 : N].
Иначе говоря, виртуальное перемещение в момент t это допустимая вариация движения при неизменном этом значении t (изохронная вариация), причем “допустимая ” означает совместимая с уравнениями связей, стесняющих движение системы. При наличии связей вариации координат не независимы: если система стеснена
139
Перейти к оглавлению на странице: 256
голономными связями (см. (1.1))
f(~x, t) = 0, |
(2.1) |
а δ~x виртуальное перемещение, то наряду с ~x этому равенству должна удовлетворять и величина ~x + δ~x. Так как
f(~x + δ~x, t) = |
3N |
∂ f |
δxν + . . . , |
(2.2) |
||
|
||||||
|
|
|
|
∂ xν |
|
|
|
|
ν=1 |
|
|||
то получаем равенство |
X |
|
||||
|
|
|
|
|
||
X |
|
|
|
|
|
|
3N |
∂ f |
δxν = 0, |
(2.3) |
|||
∂ x |
|
|||||
ν=1 |
ν |
|
||||
|
|
|
|
|
||
с точностью до бесконечно малых высших порядков. Так как
f(~x + d ~x, t + d t) = |
3N |
∂ f |
dxν + ∂ f dt + . . . , |
(2.4) |
||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
∂ x |
|
∂ t |
|
|
|
ν=1 |
ν |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то для истинного перемещения получаем другое равенство:
X |
|
|
∂ f |
|
|
3N ∂ f |
dxν + |
dt = 0, |
(2.5) |
||
|
∂ x |
∂ t |
|||
ν=1 |
ν |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
истинное также с точностью до бесконечно малых высших порядков. Как видим, в случае стационарности связей истинное перемещение является одним из виртуальных перемещений.
Понятие виртуальных перемещений или вариаций обобщенных координат вводятся так же, как и в случае декартовых координат: виртуальным перемещением механической системы в обобщенных координатах в момент t называют любое бесконечно малое изменение обобщенных координат при неизменном этом значении t, совместимое с наложенными связями ((2.1) и, возможно, другими).
Из формул (1.2) получаем:
s |
∂ x |
ν |
s |
∂ ~r |
|
δxν = p=1 |
|
δqp, δ~rj = p=1 |
j |
δqp, ν [1 : 3N], j [1 : N]. |
|
∂ qp |
∂ qp |
||||
X |
|
X |
|
||
(2.6)