Перейти к оглавлению на странице: 256

при конструировании конкретных моделей.

§3. Сила и масса. Второй и третий законы Ньютона

Рассмотрим движение точки в E3 в некоторой фиксированной инерциальной системе координат.

Для этого запишем для нее уравнение движения Ньютона

и начальные условия

Если бы мы знали функцию ~ , и она удовлетворяла бы усло-

F

виям существования и единственности решения задачи Коши (3.1), (3.2), то можно было бы как-то найти или исследовать решение этой задачи, то есть движение точки. Для того, чтобы построить

функцию ~ , вводят понятия массы и силы.

F

Вкинематике мы изучали движение точек и тел (твердых тел).

Иточка, и твердое тело математические абстракции, принятые в моделях теоретической механики. Так как в настоящем параграфе мы рассматриваем движение точки и собираемся ввести понятия массы и силы, то должны будем говорить о массе точки и о силе, действующей на точку. С другой стороны, реальные тела в природе не являются ни твердыми телами, ни точками, поэтому при введении понятий массы точки и силы, действующей на точку, мы будем обосновывать эти абстрактные понятия ссылками на свойства реальных тел в природе.

Как мы знаем, в инерциальной системе координат всякое ускорение тела вызывается действием на него других тел. Опыт показывает, что это действие имеет характер взаимодействия, и это положение принимается как один из постулатов механики Ньютона.

В качестве меры механического взаимодействия тел вводится по-

~

нятие силы, а именно постулируется, что сила F , действующая на точку, это вектор, одинаково направленный с ускорением точки

¨

w~ = ~r, которое вызывается этой силой.

Силы в механике подразделяют на контактные (силы давления, трения,...) и полевые (гравитационные, электромагнитные,...).

88

Перейти к оглавлению на странице: 256

Такое разделение носит условный характер, возникающие при контакте тел силы также обусловлены полями частиц, составляющих эти тела. Вопрос о природе сил взаимодействия не рассматривается в механике.

Статический способ измерения силы, действующей на точку, заключается в уравновешении ее действием на ту же точку определенным образом деформированной пружины-эталона, служащей эталоном силы. Если в результате совместного действия этих сил точка покоится в одной из инерциальных систем координат, то постулируется, что измеряемая сила равна по модулю эталону силы и направлена противоположно ей. Располагая несколько эталонов под различными углами, можно уравновесить (то есть измерить) любую силу (в принципе). Этим способом показывается, что сила действительно вектор.

Опыт показывает, что ускорения, приобретаемые одним и тем же телом под действием разных сил, пропорциональны этим силам, измеренным статическим способом. Это приводит к динамическому способу сравнения сил, основанному на равенстве:

Опыт показывает, что при любой силе отношение F/w для данного тела (точки) остается постоянным, а для разных тел это отношение, вообще говоря, различно. Оказывается, таким образом, что величина F/w характеризует некоторое свойство, присущее телу (точке). Это свойство называют инертностью. Для количественной характеристики инертности вводят новую величину массу m, пропорциональную F/w. Способ сравнения масс может быть основан на равенстве:

Опыт показывает, что масса обладает следующими свойства-

ми:

–она аддитивна, то есть масса составного тела равна сумме масс его частей;

–она постоянна, то есть не изменяется со временем.

89

Перейти к оглавлению на странице: 256

Точку, снабженную массой, называют материальной точкой. Иногда мы будем называть ее просто точкой. Конечную или бесконечную систему точек, снабженных массами называют механической или материальной системой. Обобщая результаты опытов, можно сформулировать второй и третий законы Ньютона.

Второй закон Ньютона

Ускорение материальной точки в инерциальной системе координат прямо пропорционально действующей на нее силе и обратно пропорционально ее массе.

При соответствующем выборе единиц измерения получаем:

то есть в уравнении (3.1) следует положить F = F /m.

Третий закон Ньютона

Всякое действие материальных точек друг на друга имеет характер взаимодействия. Две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по величине и направленными в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей точки.

§4. Законы сил

Как мы установили, построение функции ~ в уравнении (3.1)

F

может быть сведено, согласно второму закону Ньютона, к опреде-

~

лению силы F , действующей на точку.

Здесь мы приводим некоторые найденные опытным путем

~

функции F , описывающие тот или иной класс взаимодействий.

Закон всемирного тяготения

90

Перейти к оглавлению на странице: 256

точка M2 притягивает точку M1 ), которые могут быть вычислены по формуле:

где γ положительная постоянная, которую называют всемирной гравитационной постоянной.

Кулоновская сила

Пусть M1, M2 две частицы, имеющие заряды q1, q2 и пусть

−−−−→

используются обозначения ~r = M1M2, r = |~r|. Закон Кулона со-

стоит в том, что точки с разноименными зарядами притягиваются друг к другу, а точки с одноименными зарядами отталкиваются

где k положительная постоянная, причем знак плюс соответствует случаю притягивающихся точек (то есть случаю разноименных зарядов).

Сила Лоренца

На точку с зарядом q (заряженную частицу), движущуюся в электромагнитном поле со скоростью ~v , действует сила

~ ~

где E, H напряженность электрического и магнитного полей, а c величина скорости света в пустоте.

Рассмотренные три вида сил называют фундаментальными (к фундаментальным относят также ядерные силы). Опыт показывает, что фундаментальные силы лежат в основе и всех других известных сил. В случае сил, непосредственно не сводящихся к фундаментальным, вводят экспериментально полученные приближенные законы сил, которые в принципе могли бы быть получены из фундаментальных. Мы рассмотрим ряд таких законов.

91

Перейти к оглавлению на странице: 256

Однородная сила тяжести

У поверхности Земли силу действующую на материальную точку массы m называют силой тяжести и вычисляют по формуле:

где ~g постоянный вектор, называемый ускорением свободного падения. В отличие от силы тяжести, действующей на тело (мате-

~

риальную точку), вес P это сила, с которой тело действует на опору или подвес, неподвижные относительно этого тела. Если, например, тело с опорой (подвесом) неподвижны относительно Земли, то вес тела и сила тяжести, действующая на это тело, совпадают. В

где χ постоянная, зависящая от контекста рассматриваемой конкретной задачи.

Сила трения скольжения

где f положительная постоянная (коэффициент трения скольжения), зависящая от природы соприкасающихся поверхностей, Nвеличина силы нормального давления, прижимающая трущиеся поверхности друг к другу, а ~v скорость движения тела по поверхности другого тела.

Сила сопротивления среды

~

Так называют силу F , действующую на тело в его поступательном прямолинейном движении в газе или жидкости. Она зада-

92