Перейти к оглавлению на странице: 256

§4. Решение задачи о движении точки в центральном поле методом Якоби

Здесь, на примере этой задачи, имеющей многочисленные и важные приложения в таких, например, разделах науки, как астрономия, физика и биология, мы обсудим схему решения уравнений движения механической системы методом Якоби. Для этого мы последовательно выпишем для нее уравнения Лагранжа второго рода, канонические уравнения, уравнение Гамильтона-Якоби, а затем рассмотрим систему равенств метода Якоби, дающих общий интеграл канонических уравнений, то есть общее решение уравнений движения точки в центральном поле.

Уравнения Лагранжа второго рода

Различные аспекты задачи о движении точки в центральном поле мы рассмотрели в §§10, 13, 16 главы 6.

Сила, действующая на материальную точку M массы m в центральном поле сил в системе координат с началом в центре сил O задается формулой

а соответствующее уравнение Ньютона имеет вид (см. (10.2) гл. 6)

−−→

где ~r = OM , r = |~r|, δ = ±1, а Φ(r) модуль силы, действующей на рассматриваемую материальную точку.

Напомним, что законы сил, дающих примеры центральных силовых полей, мы рассмотрели в §4 главы 6, а в §10 главы 6 мы выписали для них соответствующие величины δ · Φ(r).

Центральное поле сил является потенциальным, причем потенциал и потенциальная энергия задаются формулами (§13 гл. 6)

Z

U(x, y, z) = (r) = δ · Φ(r)dr, Π(x, y, z) = − (r), (4.3)

167

Перейти к оглавлению на странице: 256

а тогда функция Лагранжа вычисляется по формуле:

Так как рассматриваемая механическая система не стеснена связями, то в качестве обобщенных координат можно использовать декартовы и любые криволинейные координаты. Мы далее используем декартовы и сферические координаты.

Уравнения Лагранжа в декартовых координатах

Если в качестве обобщенных координат использовать декартовы координаты q = (q1, q2, q3) = (x, y, z), то

p

r = |q| = q12 + q22 + q32,

(4.5)

v = |q˙| = pq˙12 + q˙22 + q˙32, L = m |q˙|2 /2 + (|q|).

Если в уравнения Лагранжа

подставить выражение L по формуле (4.5) и произвести все дифференцирования слева, то в результате получим уравнения Ньютона (4.2).

Уравнения Лагранжа в сферических координатах

Введем в рассмотрение в качестве обобщенных координат точки M ее сферические координаты q = (q1, q2, q3) = (r, ϕ, ϑ), задаваемые формулами x = r sin ϑ cos ϕ, y = r sin ϑ sin ϕ, z = r cos ϑ. Пользуясь формулами (1.2), (1.5) главы 3, последовательно получаем, что

Упражнение 4.1. Выпишите уравнение Лагранжа в сферических координатах для рассматриваемой задачи, подставив функцию Лагранжа в (4.6).

168

Перейти к оглавлению на странице: 256

Канонические уравнения

Канонические уравнения относительно декартовых переменных

Для того, чтобы получить канонические уравнения для рассматриваемой задачи, введем импульсы p = (p1, p2, p3) и гамильтониан H по формулам (см. (1.1), (1.4), (1.5) и (4.4), (4.5)):

H(q, p, t) = pq˙(q, p, t) − L(q, q˙(q, p, t), t) =

(4.10)

= p2/m − L(q, p/m, t) = p2/2m − (|q|).

Если в канонические уравнения

подставить H по формуле (4.10) и произвести справа дифференцирования, то в результате получим уравнения:

Эти же уравнения получаются непосредственно из уравнений Ньютона (см. (4.2)), если использовать замену переменных q = (x, y, z), p = (mx,˙ my,˙ mz˙).

Канонические уравнения относительно сферических переменных

Используя формулу (4.8) для функции L в сферических переменных, введем импульсы p = (pr, pϕ, pϑ), соответствующие координатам q = (r, ϕ, ϑ), и гамильтониан H(q, p, t):

169

Перейти к оглавлению на странице: 256

H(q, p, t) = pq˙(q, p, t) − L(q, q˙(q, p, t), t) =

сферических переменных для рассматриваемой задачи, подставив функцию Гамильтона в равенства (4.11).

Уравнение Гамильтона-Якоби в декартовых и сферических переменных

Для рассматриваемой задачи о движении материальной точки в центральном поле уравнение Гамильтона-Якоби в декартовых переменных (см. (3.12) и (4.10)) имеет следующий вид:

Общий интеграл уравнений движения

Так как уравнение Гамильтона - Якоби (4.17) явно от t и ϕ не зависит, то его полный интеграл будем искать в виде:

170

Упражнение 4.3. Покажите, что функция (4.26) удовлетво-

ряет условиям теоремы Якоби и примените эту теорему для нахождения общего интеграла уравнений движения материальной точки в центральном поле.

171