Перейти к оглавлению на странице: 256

ГЛАВА 7. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

§1. Масса и плотность. Геометрия масс

Чтобы начать изучение динамики твердого тела, прежде всего мы должны дать определение модели твердого тела, которую будем использовать в этом разделе механики.

Рассмотрим сплошную связную неизменяемую механическую систему (см. §1 главы 4) и жестко связанное с ней подвижное про-

~ ~ ~

странство с репером (O, i, j, k), и пусть D область в подвижном пространстве, занимаемая этой механической системой.

Любую точку M области D можно задать ее радиус-вектором

~ ~ ~

~r = xi+yj +zk или, что то же, ее координатами x, y, z . Будем говорить, что на рассматриваемой механической системе задано распределение масс (или плотность), если в области D задана некоторая скалярная неотрицательная функция µ. Значение плотности в точке M будем обозначать µ(M), µ(~r) или µ(x, y, z).

Твердым телом будем называть сплошную связную неизменяемую механическую систему с заданным распределением масс на ней. Плотность твердого тела не зависит от времени.

Мы рассмотрели понятие твердого тела для случая, когда механическая система занимает область в E3 . Совершенно аналогично это понятие можно ввести для случаев, когда механическая система занимает область в E2 или E1 , а также для случаев, когда все ее точки лежат на поверхности или кривой.

Моменты

В предположении, что плотность тела µ непрерывна в занимаемой им области D, введем в рассмотрение величины:

ZZZ

J(i, j, k) = µ(x, y, z) xiyjzk dx dy dz, i, j, k [0 : +∞), (1.1)

D

которые называют моментами порядка α = i + j + k .

RRR

Момент нулевого порядка m = D µ(x, y, z) dx dy dz называ-

119

Перейти к оглавлению на странице: 256

имеют специальные названия: первые три называют осевыми моментами инерции твердого тела, а остальные три произведениями инерции или центробежными моментами инерции твердого тела. Кроме массы тела и шести его моментов инерции, еще одну важную величину используют для характеристики распределения

то есть xC = m−1J(1, 0, 0), yC = m−1J(0, 1, 0), zC = m−1J(0, 0, 1). Отметим, что все десять введенных скалярных характеристик твердого тела так или иначе выражаются через моменты нулевого, первого и второго порядков. Их можно назвать геометрическими характеристиками, так как они зависят только от распределения

масс и не меняются во времени.

Другие геометрические характеристики, которые мы далее рассмотрим, это момент инерции относительно оси, радиус инерции, тензор инерции и эллипсоид инерции все они определяются через уже введенные десять геометрических характеристик и также являются геометрическими характеристиками. В §2 мы рассмотрим и динамические характеристики твердого тела.

Момент инерции относительно оси

Моментом инерции материальной точки относительно оси l называют величину mh2 , где m масса точки, а h ее расстояние до оси l. Моментом инерции твердого тела относительно

плотность тела, а h расстояние от точки M D с координатами x, y, z до оси l. Прямые в подвижном пространстве, проходящие

120

без заданного направления) обозначим lx , ly , lz соответственно. Если за l взять lx , ly , lz , то для h2 получим y2 + z2 , x2 + z2 , x2 + y2 , это означает, что осевые моменты инерции Jxx , Jyy , Jzzявляются моментами инерции относительно осей lx , ly , lz .

Для того, чтобы момент инерции материальной точки массы m относительно оси l был равен моменту инерции твердого тела той же массы относительно той же оси, эта точка должна нахо-

p

диться на расстоянии dl = Jl/m от l. Величину dl называют

радиусом инерции твердого тела относительно оси l. Следующие две теоремы служат основным средством вычис-

ления момента инерции твердого тела относительно оси.

Теорема 1.1. (Гюйгенс – Штейнер) Пусть lC ось, прохо-

дящая через центр масс C твердого тела параллельно оси l на расстоянии d от нее. Тогда

где Jl, JlC моменты инерции твердого тела относительно осей l и lC , а m масса этого тела.

Упражнение 1.1. Докажите теорему 1.1 (см. [2], с.134).

Теорема 1.2. Пусть l ось, проходящая через начало O

~ ~ ~

репера (O, i, j, k), а α, β, γ ее направляющие косинусы в этом репере. Тогда

Jl = Jxxα2 + Jyyβ2 + Jzzγ2 − 2(Jyzβγ + Jzxγα + Jxyαβ), (1.5)

где Jl момент инерции твердого тела относительно оси l, а Jxx , Jyy , Jzz , Jyz , Jzx , Jxy осевые и центробежные моменты инерции этого тела (см. (1.2)).

Упражнение 1.2. Докажите теорему 1.2 (см. [2], с.136).

Тензор инерции

Положим Jxy = Jyx, Jyz = Jzy, Jzx = Jxz и рассмотрим матрицу квадратичной формы (1.5):

121

Перейти к оглавлению на странице: 256

~

Если l единичный вектор вдоль оси l, то равенство (1.5) можно переписать в виде:

~ ~ ~ ~0 ~0 ~0

Кроме репера (O, i, j, k) рассмотрим также репер (O, i , j , k ), полученный из первого в результате поворота в подвижном точечном пространстве, то есть полученный ортогональным преобразованием базиса в соответствующем векторном пространстве R3 :

ментов матрицы J при переходе к новому базису по формуле (1.9).

Преобразования элементов матрицы J , соответствующие всевозможным преобразованиям базисов по формулам (1.9), оказываются тензорными. Тем самым, таблица J в заданном базисе вместе с формулами ее преобразования к любому другому базису задает тензор (§2 главы 14). Этот тензор второго ранга называют тензором инерции твердого тела для точки O.

~ ~ ~

При заданном репере (O, i, j, k), матрица J является матрицей некоторого линейного оператора в R3 , его называют оператором инерции твердого тела в этом репере.

Эллипсоид инерции

~ ~ ~

При фиксированном репере (O, i, j, k), рассмотрим пучок всех прямых (осей), проходящих через точку O. Относительно каждой

122

Перейти к оглавлению на странице: 256

оси l пучка данное твердое тело имеет свой момент инерции Jl . Картину распределения момента инерции твердого тела в зависимости от выбора оси пучка дает эллипсоид инерции.

как и ранее, α, β, γ направляющие косинусы оси l. Учитывая эти формулы в равенстве (1.5), получаем уравнение эллипсоида

Jxxx2 + Jyyy2 + Jzzz2 − 2(Jyzyz + Jzxzx + Jxyxy) = 1, (1.10)

его называют эллипсоидом инерции твердого тела для точки O. Если M точка на этом эллипсоиде, то момент инерции твердого тела относительно оси l, проходящей через эту точку и начало

−−→

O репера, равен величине 1/ OM .

Будем наименьшей (наибольшей) из главных осей эллипсоида инерции называть ту его главную ось, которой соответствует наименьший (наибольший) из его главных диаметров. Тогда можно сказать, что наименьший момент инерции тело имеет относительно наибольшей оси его эллипсоида инерции, а наибольший относительно наименьшей оси этого эллипсоида.

Главные оси эллипсоида (1.10) называют главными осями

~ ~ ~

инерции твердого тела для точки O. Если орты i, j, k репера направлены по главным осям эллипсоида инерции, то центробежные моменты инерции равны нулю, а осевые моменты инерции равны моментам инерции относительно главных осей, их называют главными моментами инерции твердого тела для точки O. В этом репере уравнение эллипсоида принимает канонический вид:

Если начало O этого репера совпадает с центром масс C твердого тела, то эллипсоид инерции называют его центральным эллипсоидом инерции, его главные оси называют главными центральными осями инерции, а величины Jxx, Jyy, Jzz его главными центральными моментами инерции.

123