Перейти к оглавлению на странице: 256

об изменении кинетической энергии материальной точки). Непосредственным вычислением получаем равенство

Это означает, что сила сопротивления среды вызывает рассеяние кинетической энергии движущейся материальной точки, это пример диссипативных сил. В отличие от них, потенциальные силы являются примером консервативных сил.

механической системы из конечного числа точек Mj , имеющих мас-

составляющих механическую систему материальных точек, то есть величину

X

T = Tj, Tj = mjvj2/2. (14.1)

j

~~ ~

Врепере (C, i, j, k), движущемся поступательно вместе с цен-

111

§15. Теорема об изменении кинетической энергии системы

Здесь мы обобщим результаты §12 на случай механической системы из нескольких материальных точек и затем рассмотрим движение этой системы в предположении, что все силы имеют по-

механической системы из конечного числа точек Mj , имеющих массы mj и, как и в предыдущем пункте, обозначим символами ~rj, ~vj, vj, Tj , положение, скорость, величину скорости и кинетическую энергию точки Mj , а символом T кинетическую энергию всей механической системы.

Главные векторы внешних и внутренних сил, действующих

координаты этих векторов в рассматриваемом репере. Кроме то-

112

Перейти к оглавлению на странице: 256

Обсудим эти равенства. Величина δA (величина δ0A) равна сумме элементарных работ главных векторов внешних (внутренних) сил, приложенных к точкам механической системы. Равенство (15.2) называют теоремой об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме. Первое из равенств (15.4) называют теоремой об изменении кинетической энергии механической системы в конечной (интегральной) форме.

Величину N называют мощностью и говорят, что мощность характеризует интенсивность выполнения работы A + A0 внутренними и внешними силами, действующими на точки механической

113

Перейти к оглавлению на странице: 256

системы. Используя понятие мощности и равенство (15.3) можно сказать, что производная кинетической энергии механической системы равна мощности работы, выполняемой главными векторами внешних и внутренних сил, действующих на все точки этой системы. Это еще одна формулировка теоремы об изменении кинетической энергии механической системы.

Формулы (15.5) дают возможность вычислять работы через определенные интегралы по времени и естественным координатам (каждая точка Mj имеет свою естественную координату sj ).

Теперь предположим, что существует вещественнозначная функция V такая, что

XX

jj

где h произвольная постоянная.

Функцию T −V называют интегралом механической энергии, а постоянную h называют постоянной механической энергии. Величину Π = −V называют потенциальной энергией механической системы.

Условие (15.7) выполнено, в частности, если все внешние си-

~ ~ 0

лы Fj и внутренние силы Fj потенциальны, то есть при любом j существуют вещественнозначные функции Uj, Uj0 такие, что ис-

~ ~ 0 0

тинны равенства Fj d ~rj = dUj , Fj d ~rj = dUj . В этом случае можно положить V = U + U0 при U = P P

§16. Движение точки в центральном поле сил (продолжение)

Здесь мы продолжим рассмотрение движения материальной

114

Перейти к оглавлению на странице: 256

(b) Функция ~r × ~r˙ является первым интегралом уравнения (16.1) (интегралом площадей), то есть она удовлетворяет равенству:

где ~c = (c1, c2, c3) вектор, постоянный на каждом решении уравнения (16.1). Если x, y, z координаты радиус-вектора ~r, то векторное равенство (16.3) можно записать в виде следующих трех скалярных равенств:

6 ~

из которых следует, что если ~c = 0, то движение точки происходит в плоскости Лапласа c1x + c2y + c3z = 0, проходящей через центр сил O. Геометрическая интерпретация интеграла площадей дается теоремой 10.1.

(c) Центральное поле сил является потенциальным, причем потенциал и потенциальная энергия задаются формулами

Z

U(x, y, z) = (r) = ± Φ(r) dr, Π(x, y, z) = − (r), (16.5)

а функция (mv2/2) − (r) является первым интегралом уравнения (16.1) (интегралом энергии), то есть она удовлетворяет равенству

где v = |~v| , ~v = ~r˙ , а величина h постоянна на каждом решении уравнения (16.1).

Эти результаты позволяют найти решение уравнения Ньютона (16.1) и описать возможные траектории точки в рассматриваемом случае ее движения в центральном поле сил.

115

~

чае плоскость Лапласа ортогональна вектору k , а множество точек этой плоскости можно описать формулой z = 0.

Движение точки M рассмотрим в плоскости Лапласа в ци-

полярного радиуса равна r¨−rϕ˙2 (см. (2.13) главы 3), то проектируя уравнение Ньютона (16.1) на это направление, получаем:

Используя здесь равенство (16.8), приходим к следующему уравнению относительно r:

Для нахождения r(t), ϕ(t) можно сначала решить это уравнение, а затем решить уравнение (16.8) относительно ϕ(t). Отметим, что оба этих уравнения разрешимы в квадратурах.

Рассмотрим теперь важный частный случай движения материальной точки в центральном поле силы Ньютона. В этом случае функция Ψ задается формулой (см. (10.6)):

Мы не будем заниматься решением соответствующего уравнения Ньютона во всех необходимых для практических расчетов подробностях, а изучим только, по каким траекториям (орбитам) может двигаться материальная точка в таком поле сил.

Если σ = 0, то из равенства (16.8) следует ϕ˙ = 0, а это означает, что движение рассматриваемой материальной точки M является прямолинейным.

116

Перейти к оглавлению на странице: 256

Пусть теперь σ 6= 0. От уравнения (16.10) перейдем к уравнению для величины % = r−1 как функции полярного угла ϕ. Используя для этого равенство (16.8), получаем:

r˙ = dtd %−1 = −%−2ϕ˙ dϕd% = −σ dϕd% ,

(16.12)

Подставляя Ψ(r) = −χ2r−2 , r = %−1 и полученное выражение для r¨ в уравнение (16.10) и учитывая, что σ2%−2 > 0, получаем:

где p = σ2χ−2, e = Bp, f = ϕ − α.

Как известно из аналитической геометрии, равенство (16.15) задает уравнение конического сечения в полярных координатах. Начало координат O (центр сил) есть фокус конического сечения. Величины p (0, +∞) и e [0, +∞) называют параметром и эксцентриситетом конического сечения, а f истинной аномалией. Истинная аномалия это угловое удаление материальной точки от ближайшей к притягивающему центру точки P траектории (орбиты), которую называют перицентром орбиты. Наиболее удаленную от притягивающего центра точку A орбиты (если такая точка существует) называют апоцентром орбиты.

Как известно, кроме уравнений прямых (которые нас сейчас не интересуют, так как прямолинейное движение в рассматриваемой задаче возможно только при σ = 0), уравнение (16.15) описывает три типа конических сечений при 0 6 e < 1 (эллипс), e = 1 (парабола) и e > 1(гипербола). Эта классификация орбит по величине эксцентриситета неудобна с практической точки зрения в

117

Перейти к оглавлению на странице: 256

случае, если определять тип орбиты необходимо по известным начальным данным (координатам и скоростям точки в некотором репере). Предпочтительнее в этом случае классификация по постоянной энергии

так как она легко вычисляется по начальным данным.

Теорема 16.1. Условия e < 1, e = 1, e > 1 эквивалентны условиям h < 0, h = 0, h > 0 соответственно. Доказательство. Следует из равенства

Используя в (16.16) первое из равенств (16.18) и равенство (16.19), получаем равенство (16.17).

Что и требовалось доказать.

Упражнение 16.1. (см. [3], §9 главы 1) Исследуйте, по каким орбитам может двигаться материальная точка в поле силы Кулона и в поле силы Гука (см. §10).

118