Перейти к оглавлению на странице: 256

ГЛАВА 12. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ

Утверждение, высказанное в терминах вариаций и/или экстремумов величин, так или иначе зависящих от движения механической системы, называют вариационным принципом механики, если его можно положить в основу некоторого раздела механики в том смысле, например, что из него, как следствие, могут быть получены те или иные уравнения движения. В некоторых случаях конкретный вариационный принцип, по сравнению с упомянутыми уравнениями движения, интересен тем, что может использоваться для исследования или нахождения движений более общего класса механических (и/ или иных) систем. В других случаях, он может быть просто более удобным инструментом исследования и/или решения данной механической системы. В целом, множество вариационных принципов механики представляет собой мощный инструментарий, применяемый для составления различных уравнений движения механических систем и исследования свойств движений, причем не только в задачах классической механики, но (при соответствующем обобщении) и в задачах механики сплошных сред, в термодинамике, электродинамике, квантовой механике, теории относительности и т.д. В разработку этого инструментария за более чем трехсотлетний период свой вклад внесли Ферма, Мопертюи, Кениг, Эйлер, Даламбер, Лагранж, Гамильтон, Остроградский, Гаусс, Герц, Гельмгольц, Якоби и другие ученые.

В формулировках вариационных принципов механики обычно опираются на понятия истинного и кинематически возможного движения и перемещения кинематически возможными называют любые движения и перемещения механической системы (рассматриваемые в рамках кинематики), удовлетворяющие наложенным на нее связям, а истинными называют те из кинематически возможных движений и перемещений, которые механическая система совершает под действием приложенных к ней сил.

Вариационные принципы механики обычно разделяют на два подкласса дифференциальные и интегральные. Дифференциальные принципы механики обычно формулируют в терминах вариаций механических величин (движения, скорости и т.п.) в форме, устанавливающей, чем истинное движение механической системы

172

Перейти к оглавлению на странице: 256

отличается от (или выделяется из) кинематически возможных движений в каждый рассматриваемый момент времени. Интегральные принципы механики постулируют отличие истинного движения механической системы от прочих ее кинематически возможных движений на некотором промежутке времени так, что это реальное движение должно доставлять экстремум некоторому интегральному функционалу, в качестве которого обычно выступает некоторая физическая величина, зависящая от кинематических и динамических характеристик рассматриваемой системы.

Вариационные принципы не самый простой раздел механики. Мы ограничимся рассмотрением двух дифференциальных (§1, 2) и двух интегральных (§4, 5) принципов механики они сравнительно просты и часто используются в приложениях.

§1. Дифференциальный принцип Даламбера-Лагранжа в декартовых переменных

Принцип Даламбера-Лагранжа непосредственно связан с общим уравнением механики (уравнением Даламбера - Лагранжа), поэтому, прежде, чем его формулировать, рассмотрим здесь это уравнение (см. (3.2), глава 9)

и напомним связанные с ним обозначения и предположения. Рассматривается механическая система из конечного чис-

ла материальных точек Mj массы mj, j [1 : N]. Символом ~rj обозначается радиус-вектор точки Mj в некотором репере

внешних и внутренних активных сил и сил реакций связей, действующих на материальную точку Mj . Символом δ~rj обозначается (изохронная) вариация вектора ~rj , совместимая с этими связями. Предполагается, что все стесняющие рассматриваемую механическую систему связи выражены равенствами и являются голономными и идеальными. Напомним, что связи называют идеальными,

PN ~ ·

если равна нулю величина j=1 Rj δ~rj виртуальная работа сил реакций связи. Напомним, наконец, что величину −mj dtd ~vj , назы-

173

Перейти к оглавлению на странице: 256

вают силой инерции, действующей на точку Mj .

Принцип Даламбера-Лагранжа. Истинные движения механической системы с голономными идеальными связями, выраженными равенствами, принадлежат тому подмножеству множества всех кинематически возможных движений, для которых сумма элементарных работ всех активных сил и сил инерции на любом кинематически возможном перемещении системы равна нулю в каждый момент времени.

Как мы знаем, равенство (1.1), выражающее этот принцип в форме уравнения, называется общим уравнением механики. Ранее, в главе 9, при сделанных предположениях, мы вывели (это было несложно) его из уравнений движения Ньютона, а в главе 10 из уравнения (1.1) мы вывели уравнения движения Лагранжа второго рода.

§2. Дифференциальный принцип Даламбера-Лагранжа в канонических переменных

Вариации скоростей. Вариации канонических переменных

Рассмотрим голономную механическую систему. Вариацией декартовой скорости j -ой точки системы в момент t называют бесконечно малую

где ~rj0 кинематически возможные движения (“близкие к ~rj ”). Символами x1, . . . , x3N обозначим, как обычно, координаты

точек системы. Тогда получаем

174

Перейти к оглавлению на странице: 256

то есть операторы дифференцирования и вариации перестановочны.

и вычислим ее вариацию в момент t как функцию вариаций δ qi и

δ q˙i :

Вычтем (2.6) из (2.5): слева получим нуль в силу (2.4), справа сократятся вторые и третьи суммы и, следовательно, можно приравнять нулю оставшуюся сумму:

d(δ qi)/dt, причем rank (∂ xν/∂ qi) = s (см. §1 главы 9). Поэтому

δ q˙i не являются независимыми от δ qi как функции времени. С

175

Перейти к оглавлению на странице: 256

˜

другой стороны , в любой момент t = t значения δ qi и δ q˙i можно рассматривать как независимые величины. Действительно, пусть

˜

требуется, чтобы δ qi = αi, δ q˙i = βi при t = t. Этого можно добиться, если в качестве вариаций δ qi на промежутке t (t1, t2)

Рассмотрим вариации канонических переменных. Вариации импульсов можно вычислить, варьируя равенства pi = ∂ L/∂ q˙i (см. (1.1) главы 11):

Как мы отмечали, функции времени δ q˙k зависят от функций времени δ qk . Поэтому вариации импульсов как функции времени зависят от δ qk . С другой стороны, мы обнаружили, что точечные

˜

вариации (то есть значения вариаций при t = t) могут рассматриваться как независимые. Поэтому из (2.9) получаем, что при любом

˜

t = t значения вариаций δ qi и δ pi можно выбирать независимо.

Принцип Даламбера-Лагранжа в канонических переменных

Будем использовать обозначения:

q = (q1, ..., qs), q˙ = (q˙1, ..., q˙s), p = (p1, ..., ps),

(2.10)

δ p = (δ p1, ..., δ ps).

Пусть все активные силы, действующие на механическую систему, потенциальны. В этом случае общее уравнение механики в лагранжевых координатах можно записать в следующей форме:

176

Перейти к оглавлению на странице: 256

Дифференцируя (∂ L/∂ q˙) δ q по t и используя формулу (2.8), получаем:

Подставим (2.12) в (2.11):

это общее уравнение механики в канонических переменных для случая, когда активные силы, действующие на механическую систему, потенциальны.

Принцип Даламбера - Лагранжа. Если все активные силы, действующие на механическую систему потенциальны, а ее движения стеснены только голономными идеальными связями, выраженными равенствами, то ее истинные движения принадлежат тому подмножеству множества всех кинематически возможных движений, для которых в каждый момент времени выполняется равенство (2.14).

Из уравнения (2.14) можно получить уравнения Лагранжа II рода, а из них и гамильтоновы уравнения (см. §1 главы 10 и §1 главы 11). Получим все же гамильтоновы уравнения непосредственно из уравнения (2.14). Варьируя равенство L = p q˙−H (см. (1.5) главы 11), получаем:

177