Перейти к оглавлению на странице: 256

ки B+ с B− .

Если такое разделение B на B+ и B− произведено (то есть если B+ и B− конкретизированы), то говорят, что на векторном пространстве V задана ориентация (одна из двух возможных). При этом, базисы из B+ называют положительно ориентированными или правыми, а базисы из B− называют отрицательно ориентированными или левыми. Для задания ориентации достаточно любой конкретный базис отнести к B+ или B− , то есть объявить его правым или левым, тогда все базисы, связанные с ним матрицей с положительным определителем, будут иметь ту же ориентацию, а все остальные базисы будут иметь противоположную ориентацию.

Пусть теперь V вещественное или комплексное векторное пространство. Множество

L(x, y) = {z V |z = ax + (1 − a)y, a [0, 1] }

называют отрезком, соединяющим точки x, y V . Множество

T V называют выпуклым, если из x, y T следует L(x, y) T .

ров x1, . . . , xk с коэффициентами a1, . . . , ak Λ. Множество V(T ) всех выпуклых комбинаций векторов из T называют выпуклой оболочкой, натянутой на T или просто выпуклой оболочкой T . Выпуклая оболочка V(T ) является пересечением всех выпуклых множеств в V , содержащих T .

§3. Метрические пространства

Говорят, что множество M наделено структурой метрического пространства, или что на M задана метрика, если определена функция % : M × M → [0, + ∞), называемая расстоянием и обладающая следующими свойствами:

(m1) ( x, y M) ((%(x, y) = 0) (x = y)) свойство диагонали;

(m2) ( x, y M) (%(x, y) = %(y, x)) свойство симметрии;

(m3) ( x, y, z M) (%(x, y) 6 %(x, z) + %(z, y)) неравенство треугольника.

197

Перейти к оглавлению на странице: 256

Пара (M, %) называется метрическим пространством, но обычно говорят о метрическом пространстве M . Элементы множества M называют также точками этого метрического пространства.

Кроме расстояния %(x, y) между элементами x, y метрического пространства M используют и понятие расстояния %(A, C)

между подмножествами A, C множества M . При этом полагают, что

%(A, C) = inf {u| u = %(x, y), x A, y C} .

или открытым и замкнутым параллелепипедом соответственно. Точка x называется центром шара (параллелепипеда), а величина b радиусом шара. Множество A называется ограниченным, если оно является подмножеством некоторого шара конечного радиуса.

Точка x0 метрического пространства M называется внутренней для множества K M , если она принадлежит ему вместе с некоторым открытым шаром с центром в этой точке. Множество, все точки которого внутренние, называется открытым. Всякое открытое множество метрического пространства M , содержащее множество K M , называется открытой окрестностью этого множества. Множество N M называется окрестностью множества K M , если оно содержит его открытую окрестность. В частности, если множество K состоит из одной точки x0 M , то говорят об окрестности и открытой окрестности этой точки. В качестве окрестности точки x0 чаще всего рассматривают открытый шар с центром в этой точке.

Точку x0 M называют предельной точкой множества K , если в любой ее окрестности есть точка x K , отличная от x0 . Точку x0 M называют граничной для множества K , если в любой ее окрестности есть как точки, принадлежащие K , так и точки, принадлежащие M\K . Множество всех граничных точек множества K называют его границей и обозначают обычно K или ∂K .

198

Перейти к оглавлению на странице: 256

Если множество содержит все свои предельные точки, то оно называется замкнутым. Если K0 множество всех предельных точек множества K , то множество [K] = K K0 называют замыканием множества K .

Говорят, что множества A и C покрывают множество K , если (A C) K . Подмножество K метрического пространства M называется связным, если его нельзя покрыть никакими двумя открытыми непересекающимися подмножествами множества M . Открытое связное множество называют областью, а замкнутое связное множество называют континуумом. Если K область, то K K называют замкнутой областью. Множество K называют компактным, если любое его бесконечное подмножество имеет предельную точку, принадлежащую M .

Рассмотрим теперь некоторые понятия, связанные с предельным переходом в метрическом пространстве M . Пусть Z множество целых чисел, а множество Z1 Z ограничено снизу. Всякая функция π : Z1 → M называется последовательностью в M . Если множество Z1 конечно, то последовательность называется конечной, иначе – бесконечной. Обычно для последовательности ис-

Определение компактности, приведенное выше, в терминах последовательностей оказывается эквивалентным следующему: множество метрического пространства называется компактным, если у любой его бесконечной последовательности существует подпоследовательность, сходящаяся к некоторой точке этого пространства. Если компактно множество M , то пространство M называется компактным.

Множество K называется всюду плотным в M , если [K] = M , или, что то же, если для любой точки x M существует сходя-

199

Перейти к оглавлению на странице: 256

щаяся к ней последовательность xk π(K). Метрическое пространство называют сепарабельным, если у него существует счетное всюду плотное подмножество. Всякое подмножество сепарабельного метрического пространства само является сепарабельным метрическим пространством. Если у метрического пространства существует всюду плотное сепарабельное подмножество, то оно сепара-

Метрическое пространство M называется полным, если любая его фундаментальная последовательность сходится к некоторому элементу множества M .

¯

Пополнением M метрического пространства M называется полное метрическое пространство, содержащее M как всюду плотное свое подмножество. Теорема, принадлежащая Ф.Хаусдорфу, утверждает, что это пополнение всегда существует. Мы сформулируем эту теорему в следующем разделе для случая нормированных пространств.

§4. Банаховы, гильбертовы и евклидовы пространства

Говорят, что векторное пространство V наделено структурой

нормированного пространства, если на V определена функция

N : V → [0, +∞) такая, что при любых x, y V , a Λ она удовлетворяет следующим условиям:

(n1) (N(x) = 0) (x = 0);

(n2) N(ax) = |a| N(x), N(x + y) 6 N(x) + N(y).

Эта функция называется нормой и, кроме N(x), для нее используют обозначения |x|,kxk и другие. Пара (V, N) называется

нормированным векторным пространством, но обычно говорят о нормированном пространстве V .

Пусть V1 , V2 векторные пространства, а (V1, N1), (V2, N2)векторные нормированные пространства. Изоморфизм F : V1 → V2 называется изометрическим, если N2(F (x)) = N1(x). Нормированные пространства V1 ,V2 называются изометрически изоморфными, если существует изометрический изоморфизм между ними.

200

Перейти к оглавлению на странице: 256

Все изометрически изоморфные нормированные пространства естественно отождествить. Можно сказать, что нормированное пространство определяется с точностью до изометрического изоморфизма.

Нормированное пространство V наделяют структурой метрического пространства, полагая %(x, y) = N(x−y) для любых векторов x, y V . Когда говорят о каких-либо метрических понятиях в нормированных пространствах (расстояние, окрестность, шар, сходимость и т.д ), то имеют в виду это расстояние.

Подпространством нормированного пространства V называют его замкнутое векторное подпространство (то есть его замкнутое линейное многообразие).

Полное нормированное пространство называют банаховым пространством. Всякое подпространство банахового пространства (то есть, его замкнутое векторное подпространство) является банаховым.

Пополнением нормированного пространства V называется банахово пространство, содержащее V как всюду плотное свое подмножество. Как мы уже говорили в разделе о метрических пространствах, пополнение любого метрического, а значит и нормированного пространства всегда существует. Прежде, чем сформулировать соответствующую теорему, принадлежащую Ф.Хаусдорфу, мы введем некоторые необходимые для этого понятия.

Пусть V нормированное пространство, а Φ множество всех фундаментальных последовательностей элементов из V . На множестве Φ вводят отношение эквивалентности , полагая, что

непересекающихся своих подмножеств – классов эквивалентности, эквивалентных между собой последовательностей. Множе-

Q2 следует равенство

{q Φ | q (a1q1 + a2q2) } = Q.

201

Перейти к оглавлению на странице: 256

где xk Q (величина этого предела не зависит от выбора последовательности в классе Q). Полученное векторное нормированное

¯

пространство будем также обозначать V .

Последовательность xk Φ называется стационарной, если все ее члены, начиная с некоторого k , равны между собой.

Теорема 4.1. (Теорема Хаусдорфа)

1. Пусть V векторное нормированное простран-

изоморфно V .

2. Пусть V банахово пространство, а V1 плотное в V линейное многообразие, рассматриваемое как нормированное пространство с той же нормой.

Тогда пополнение V1 изометрически изоморфно V . Другими словами, пополнение нормированного про-

странства единственно с точностью до изометрического изоморфизма.

Существует стандартный способ построения по данному банаховому пространству V новых банаховых пространств. Для этого фактор-пространство V/T векторного нормированного пространства V по тому или иному его линейному многообразию T наделяют структурой нормированного пространства, вводя норму N(X) = inf {N(x + u) | x X, u T } для любого X V/T . Полученное векторное нормированное пространство обозначают тем же символом V/T и называют фактор-пространством нормированного пространства V по его линейному многообразию T . Если V банахово, то и V/T оказывается банаховым.

202

Перейти к оглавлению на странице: 256

Пусть H векторное пространство над полем Λ при Λ = C , или Λ = R. Говорят, что H наделено структурой предгильбертова пространства над Λ, если задана функция s : H × H → Λ, называемая скалярным произведением и удовлетворяющая условиям:

(g1) s(x, x) > 0, (s(x, x) = 0) (x = 0),

(g2) s(a1x + a2y, z) = a1s(x, z) + a2s(y, z), s(x, y) = s¯(y, x),

при любых x, y, z H, a1, a2 Λ (черта над s комплексное сопряжение).

Предгильбертовым пространством называют пару (H, s), но обычно говорят о пространстве H . При Λ = C , Λ = R оно называется комплексным и вещественным соответственно. Помимо s(x, y), для скалярного произведения используют обозначения (x, y), hx, yi, xy и другие.

Отношения ортогональности векторов x, y H , вектора x H и множества H1 H и двух множеств H1, H2 H , обозначаемые символом , определяются естественным образом:

(go1) (x y) (hx, yi = 0);

(go2) (x H1) (( y H1)(x y));

(go3) (H1 H2) (( x1 H1) ( x2 H2) (x1 x2)).

странства, поэтому говорят, что предгильбертово пространство является частным случаем нормированного пространства. Для нор-

точно, чтобы для любых двух его элементов x, y было истинным равенство

(gn1) kx + yk2 + kx − yk2 = 2 kxk2 + kyk2 ,

203

Перейти к оглавлению на странице: 256

которое, в частности, отражает известную теорему из планиметрии о том, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Из аксиом (g1), (g2) можно вывести, что:

при любых x, y, z H, a1, a2 Λ,

(g7) (x L) ( y L) (kxk 6 kx − yk), где L подпространство

H .

Из неравенства (g4) следует, что в вещественном предгильбертовом пространстве H можно ввести понятие угла ϕ между векторами x, y H при помощи формул cos ϕ = hx, yi / (kxk · kyk),

0 6 ϕ 6 π .

Если предгильбертово пространство H полно относительно

p

нормы + hx, xi, то его называют гильбертовым пространством. Иногда при определении гильбертова пространства предполагают его сепарабельность, так как в приложениях чаще всего используют сепарабельные гильбертовы пространства.

Подпространство гильбертова пространства является гильбертовым пространством. Подпространство сепарабельного гильбертова пространства является сепарабельным гильбертовым пространством. Аннулятор L подпространства L гильбертова пространства H является гильбертовым пространством, причем L ∩ L = {0}. Говорят, что подпространства L и L являются ортогональными дополнениями друг друга. Оказывается, что любой вектор x H единственным образом представим в виде суммы x = x1+x2 , где x1 L,x2 L , а это означает, что H = L L , то есть H равно алгебраической сумме своих линейных многообразий (векторных подпространств) L и L . В этом случае говорят, что гильбертово пространство H разлагается в ортогональную сумму своих подпространств L и L .

204

Перейти к оглавлению на странице: 256

Пусть U выпуклое замкнутое множество в гильбертовом пространстве H . Тогда для любого x H существует единственный элемент ux U такой, что kx − uxk = %(x, U), этот элемент называют проекцией x на U . В частности, это утверждение применимо в случае, если U векторное замкнутое подпространство, так как векторное подпространство – выпуклое множество.

Пусть I множество (индексов). Семейство {gi}i I ненулевых элементов предгильбертова пространства H называют ортогональной системой, если условия gi gj выполнены для любых индексов i, j I при i 6= j . Семейство {ei}i I элементов предгильбертова пространства H называют ортонормальной (или ортонормированной) системой, если условия keik = 1 и ei ej выполнены для любых i, j I при i 6= j . Если {gi}i I ортогональная система, то {gi / kgik}i I ортонормальная система. В случае, если множество I счетно, естественно считать его упорядоченным, а ортогональную или ортонормальную систему {gi}i I называть также и ортогональной или ортонормальной последовательностью.

Множество векторов любой ортогональной системы линейно независимо. С другой стороны, из любой последовательности {fi}i [1:+∞} , множество элементов которой линейно неза-

сание которой можно найти, например, в [14].

Любая ортогональная система сепарабельного гильбертового пространства является ортогональной последовательностью, то есть состоит не более, чем из счетного множества векторов.

Если {ei} ортонормальная последовательность в предгильбертовом пространстве H , то числа ci(x) = hx, eii называются коэффициентами Фурье элемента x H по этой системе.

Величины ci(x) по любой ортонормальной системе предгильбертова пространства H удовлетворяют неравенству Бесселя

Ортонормальную последовательность {ei}i [1:+∞) в сепарабельном гильбертовом пространстве H называют полной, если не

205

Перейти к оглавлению на странице: 256

существует, кроме нуля, другого элемента этого же пространства, ортогонального всем ei , i [1 : +∞).

Для полной ортонормальной системы {ei}i [1:+∞) в сепарабельном гильбертовом пространстве H неравенство Бесселя переходит в равенство Парсеваля

которое является необходимым и достаточным условием полноты этой системы в этом пространстве. Полную упорядоченную ортонормальную систему {ei}i [1:+∞) в сепарабельном гильбертовом пространстве H называют еще базисом или ортонормальным базисом этого пространства (в отличие от алгебраического базиса векторного пространства H), так как:

или, в равносильной записи:

Важно, что в любом сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортогональный базис (а значит и бесконечно много таких базисов). Возможность разложения векторов по этим базисам и измерения углов между векторами (в вещественных гильбертовых пространствах) позволяет использовать в работе с ними геометрические идеи, основанные на аналогиях со случаем трехмерного пространства элементарной геометрии. Во многом по этим причинам сепарабельные гильбертовы пространства, особенно вещественные, так полезны и популярны в приложениях.

Наиболее простой случай гильбертовых пространств – конечномерные гильбертовы пространства. Вещественные конечномерные гильбертовы пространства называют евклидовыми, а комплексные – унитарными пространствами. Важно (и очевидно), что любое конечномерное предгильбертово пространство является сепарабельным и полным, то есть гильбертовым – евклидовым или унитарным.

Сепарабельные гильбертовы пространства одинаковой размерности изометрически изоморфны.

206