Перейти к оглавлению на странице: 256

§5. Пространства Rn

Символом Rn обозначают множество упорядоченных наборов из n вещественных чисел. Это множество вместе с различными определенными на нем структурами называют пространством Rn . В этом смысле его можно рассматривать как группу, кольцо, поле и векторное пространство, как метрическое, нормированное, евклидово пространство и т.д. Естественно, что из этих пространств наиболее богатым по содержанию и востребованным в приложениях является евклидово пространство Rn , тем более, что его всегда можно рассмотреть и как любое из названных выше пространств

Rn .

Для того, чтобы наделить множество Rn структурой евклидова пространства полагают

ax = (ax1, . . . , axn), x1 + x2 = (x11 + x21, . . . , x1n + x2n),x1, x2 = x11x21 + . . . + x1nx2n

для любых x = (x1, . . . , xn), x1 = (x11, . . . , x1n), x2 = (x21, . . . , x2n) Rn , a R.

Размерность евклидова пространства Rn равна n. Простейший пример базиса этого пространства образует упорядоченный набор (~e1, . . . ,~en) из n единичных векторов ~e1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , ~en = (0, . . . , 0, 1).

Любое евклидово пространство H размерности n изометрически изоморфно евклидову пространству Rn . Если (~g1, . . . ,~gn) какой-нибудь базис в H , то этот изоморфизм f : H → Rn можно задать формулой

( h H) (h = h1~g1 + . . . + hn~gn f(h) = (h1, . . . , hn) Rn) .

207