3. Тмо вивчення числових рівностей і нерівностей.

3. Що повинен знати вчитель, щоб сформувати у молодших школярів правильні уявлення про числові рівності та нерівності? – ТМО такої роботи. Які підходи існують в математиці до визначення понять “рівність”, “нерівність” – ще з курсу математики нам відомо, що існують два підходи до визначення цих понять: сутність першого, який називають формальним, полягає в тому, що під рівністю (чи нерівністю) розуміють будь-які два числових вирази сполучені знаком “=” (“дорівнює”) чи знаками “<,>” (“менше”, “більше”); при другому підходові, який називають змістовним, вказаними знаками сполучають не будь-які два числових вирази, а лише такі, які перетворюються у правильну рівність чи нерівність. Застосування першого підходу в курсі математики початкових класів є недоцільним з методичної точки зору, бо при цьому б створювалися додаткові труднощі при засвоєнні учнями алгебраїчного матеріалу. Адже в силу конкретності мислення молодших школярів, їм важко уявити та усвідомити зміст записів 3=5, 3>5, 7<2 тощо. Враховуючи сказане, використовують змістовний підхід, який не суперечить науковому трактуванню понять рівності і нерівності. Саме тому знаками “=”, “”, “” сполучаються, в основному, тільки такі числові вирази, які є правильними, наприклад: 5+2=7, 5+29, 5+26. Вирази виду 5+2=8, 5+27, 5+27 в курсі математики 1–4-х класів не розглядаються, за винятком тих випадків, коли потрібно перевірити правильність обчислення у прикладі. Наприклад: перевірити, чи правильно виконано обчислення 36+25=51. Отже, у молодших школярів спочатку формуються уявлення лише при правильні рівності та нерівності.

Як одержуються рівності та нерівності в курсі математики початкових класів? – на основі порівняння двох чисел, числа і виразу, двох виразів. Враховуючи сутність змістовного трактування понять “рівність”, “нерівність”, знаками “=”, “>”, “<” сполучаються такі два числа, число і вираз, два вирази, між якими такі відношення існують. Завдяки сказаному, учні поступово вводять до свого активного словника терміни “правильна рівність”, “неправильна рівність”, “правильна нерівність”, “неправильна нерівність” замість найбільш вживаних у наукових курсах “істинна рівність”, “істинна нерівність”, “хибна рівність”, “хибна нерівність”. Разом з тим, термін “розв’язати нерівність” в курсі математики початкових класів майже не вживається, бо учні знаходять не всю множину розв’язків нерівностей, а лише окремі елементи цієї множини.

Які ж завдання ставляться щодо ознайомлення учнів початкових класів відносно введення та вивчення числових рівностей і нерівностей? – навчити: 1) школярів відрізняти рівності та нерівності від інших математичних об’єктів; 2) учнів практично оперувати рівностями і нерівностями та виділяти їх серед інших математичних об’єктів; 3) дітей порівнювати два числа, число і вираз, два вирази та записувати результати порівняння, використовуючи знаки “=”, “<”, “>”; 4) школярів переходити від нерівностей до рівності і навпаки; 5) учнів розв’язувати нерівності методом підбору; 6) школярів читати одержані рівності і нерівності.

Як же слід добиватися виконання кожного із вказаних завдань? – при виконанні відповідної системи вправ, яка представлена у підручниках і методичних посібниках для вчителів. Аналіз вказаних джерел дозволяє виділити наступну систему вправ, яка використовується при формуванні уявлень дітей про ці поняття, а саме:

1) завдання, пов’язані із порівнянням множин предметів, яке відбувається на основі встановлення взаємно однозначної відповідності або на основі лічби. При їх розв’язуванні відбувається перехід від рівностей до нерівностей і навпаки;

2) вправи на порівняння чисел, яке відбувається або на основі встановлення взаємно однозначної відповідності між елементами двох множин, або на основі визначення місця числа в натуральному ряді чисел, або на основі знань десяткового складу числа. Всі випадки порівняння записуються з допомогою знаків =, <, >;

3) завдання, пов’язані із порівнянням іменованих чисел, наприклад: 3 дм 5 см * 37 см;

4) вправи на порівняння виразу і числа, наприклад: 20+7*28;

5) завдання, пов’язані із порівнянням двох виразів, наприклад: 20+7*20+6. Таке порівняння учні можуть виконувати двома способами: для слабших учнів це може бути використання обчислень, наприклад: 20+7=27, 20+6=26, 27>26, а тому 20+7>20+6. Сильніші учні міркуватимуть приблизно так: перші доданки рівні, а другий доданок зліва більший, а тому 20+7>20+6. У подальшому відбувається ускладнення числових рівностей і нерівностей, з одного боку, за рахунок розширення числової області, а з іншого - завдяки ускладненню структури виразів, що стоять у лівій і правій частині.

Коли ж діти вперше зустрічаються з числовими рівностями і нерівностями? - при вивченні чисел 1 і 2 (1+1=2, 2>1, 1<2). Таким чином, ознайомлення учнів з рівностями та нерівностями в курсі математики початкових класів безпосередньо пов’язується з вивченням нумерації та арифметичних дій. Отже, фактично саме з цього моменту розпочинається систематична робота із формування уявлень дітей про рівності і нерівності. Ця робота продовжується аж до кінця вивчення курсу математики. З метою формування в учнів уявлень про рівність та нерівність можна використовувати вправи такого виду: 1) заповни віконце +3=4. Розв’язуючи цю вправу учні міркують так: +3=4 – це рівність, праворуч від знака рівності якої стоїть число 4, а ліворуч також повинно бути 4. Я знаю, що 4 – це 3 і 1, отже, у віконце слід вписати число 1; 2) встав потрібний знак і число: 5*=6. Розв’язуючи таку вправу, діти міркують так: 5*=6 – це рівність, праворуч від знака рівності якої стоїть число 6, а ліворуч також повинно бути 6. Оскільки 6 більше 5 на 1, то до 5 слід додати 1; 3) як зробити, щоб рівність стала правильною? 8=7  Розв’язуючи такі вправи, учні міркуватимуть так: 8=7  - це рівність, вона буде правильною, якщо праворуч і ліворуч від знака рівності буде стояти 8. 8 – це 7 і 1, отже, до 7 слід додати 1; 4) постав потрібний знак “=”, “<”, “>”: 3*4. При розв’язуванні таких вправ слід привчати учнів міркувати так: – це нерівність. 3 менше 4, бо число 3 при лічбі йде перед числом 4, отже, замість зірочки необхідно поставити знак <. Для того, щоб краще підготуватися до формування в учнів поняття про рівності і нерівності, пропонуємо студентам виконати завдання №№ 8, 9 для самостійної роботи.

Коли учні приступають до порівняння чисел, числа і виразу, двох виразів? – формування умінь порівнювати розпочинається вже при вивченні нумерації чисел в межах десяти. З цією метою використовуються наступні вправи:

1) завдання на порівняння множин предметів, серед яких можна виділити: а) порівняння множин предметів; б) ілюстрування предметними множинами даної нерівності 4>3; в) завдання на перехід від нерівності до рівності, наприклад: маємо 5<6, що треба зробити, щоб предметів стало порівну?; г) вправи на перехід від рівності до нерівності, наприклад: маємо 5=5, що треба зробити, щоб предметів ліворуч стало більше?; д) вправи на практичне засвоєння властивості симетричності рівності: якщо на столі чашок стільки ж, скільки блюдець, то блюдець стільки ж, скільки чашок; е) завдання на практичне засвоєння властивості антисиметричності нерівності: якщо на столі чашок більше, ніж блюдець, то блюдець менше, ніж чашок;

2) вправи на порівняння чисел, серед яких виділяють: а) завдання, при виконанні яких порівняння чисел відбувається на основі встановлення взаємно однозначної відповідності між елементами двох предметних множин, наприклад: за малюнком, визнач кількість предметів праворуч і ліворуч та порівняй їх; б) вправи на порівняння чисел на основі місця цього числа в натуральному ряді, наприклад: 7<9, бо число 7 при лічбі зустрічається раніше, ніж число 9; в) завдання на порівняння чисел на основі їхнього десяткового складу, яке відбувається в концентрах “Сотня”, “Тисяча”, “Багатоцифрові числа”.

3) завдання на порівняння іменованих чисел, серед яких виділяють: а) порівняння з опорою на самі задані величини, наприклад: на малюнку зображено два відрізки і задано значення їхніх довжин, а учні записують, що 7 см<9 см, міркуючи так: на малюнку видно, що відрізок довжиною 7 см коротший, ніж відрізок довжиною 9 см; б) порівняння іменованих чисел, які виражені в однакових одиницях вимірювання, наприклад: 1 дм 7 см > 1 дм 5 см;

4) вправи на порівняння виразу і числа або числа і виразу, серед яких виділяють: а) порівняння на основі операцій над множинами; б) порівняння на основі обчислення значення виразу, наприклад: 7>5+1, бо 5+1=6, а 7>6;

5) завдання на порівняння двох виразів, яке може відбуватися: а) на основі обчислення значень виразів, наприклад: 7+5>6+4, бо 7+5=12, 6+4=10, а тому 12>10; б) на основі міркувань, наприклад: 8+7<8+9, бо перші доданки однакові, а ліворуч другий доданок менший, ніж другий доданок праворуч (Пропонуємо студентам виконати завдання № 10 для самостійної роботи!).

Досвід роботи вчителів, аналіз методичної літератури свідчать, що з метою особистісної орієнтації навчального процесу, відповідно до індивідуальних особливостей дітей корисно використовувати алгоритми або алгоритмічні приписи, деякі із яких представлені у наступній таблиці № 12.7.

Таблиця № 12.7.
Алгоритм перетворення виразів	Алгоритм для обчислення значення виразів	Узагальнений алгоритм для обчислення значення виразів
З’ясуй, яка дія виконуватиметься останньою. Згадай, як називаються компоненти цієї дії. Прочитай, чим виражені ці компоненти. Прочитай весь вираз.	Якщо у виразі без дужок є тільки дії додавання чи віднімання (множення чи ділення), то виконай дії у тому порядку, в якому вони записані. Якщо ні, то переходь до наступного кроку. Якщо у виразі без дужок вказані дії додавання, віднімання, множення та ділення, то виконай спочатку дії множення та ділення в тому порядку, в якому вони записані. Якщо у виразі є дужки, то спочатку виконай дії в дужках. Назви значення виразу.	Прочитай вираз. Встанови порядок виконання дій. Виконай обчислення. Назви значення виразу.
Алгоритм порівняння чисел	Алгоритми порівняння виразів на основі обчислення значень порівнюваних виразів	Алгоритми порівняння виразів на основі обчислення значень порівнюваних виразів
Назви числа, які слід порівняти. Назви число, яке при лічбі зустрічається раніше. Назви число, яке при лічбі зустрічається пізніше. Якщо одне число при лічбі зустрічається раніше, ніж інше, то воно менше його. Постав потрібний знак.	Розгорнутий алгоритм у вигляді дій за зразком. 6+4*6+3. 6+4=10. 6+3=9. 109. 6+46+3.	Частково згорнутий алгоритм. Прочитай вирази, які слід порівняти. Обчисли значення кожного виразу. Порівняй значення виразів. Постав потрібний знак.