Малюнок № 8.9.

2) вправи, в яких потрібно порівняти числа кожної пари, наприклад: 12:4 і 13:4 (які приклади записано? – приклади на ділення. Чим вони різняться? – у них різні ділені. Чим вони схожі? – у них однакові дільники. Прикладом на яке ділення є перший? – прикладом на ділення без остачі. На яку дію є другий приклад? - на ділення з остачею. Знайдіть частки в обох прикладах! Що можна про них сказати? – вони однакові. Чому вони дорівнюють? – 3. Запишіть розв’язання кожного прикладу! – 12:4=3, 13:4=3(ост.1).);

3) скільки окремих квадратів можна скласти з 11 лічильних паличок? (для допомоги учням, які не можуть справитися з виконанням завдання самостійно, проводимо таку роботу: скільки паличок потрібно для складання одного квадрату? – 4. Візьміть 4 палички і складіть квадрат. Чи можна ще скласти квадрат з паличок, які залишилися? – так. Робіть так доти, доки можна складати з паличок квадрати. Скільки квадратів ви склали? – 2. Скільки паличок у вас залишилося? – 3. Чи можете ви записати результат за допомогою дії ділення? – 11:4=2(ост.3).);

4) поділи кожне з чисел від 8 до 19 на 4. Скільки таких чисел, які діляться на 4 без остачі? Назви їх!

5) скільки різних остач може бути при ділення на 4? (щоб допомогти дітям справитися з цією вправою, вчитель повинен провести таку роботу: якою повинна бути остача порівняно з дільником? – меншою, ніж дільник. Скільки є чисел менших, ніж 4? – 3. Назвіть їх! – 1, 2, 3. Скільки ж різних остач може бути при діленні на 4? – три);

6) виконай ділення з остачею 32:5 (учнів слід привчати проводити приблизно такі міркування: знайдемо найбільше з чисел від 1 до 32, яке ділиться на 5 без остачі. Це число 30, бо 30:5=6. Знайдемо остачу: 32-30=2. Запишемо приклад: 32:5=6(ост.2).).

У частини дітей, як свідчать результати експериментальних досліджень, навіть після розгляду цієї теми реальні уявлення про дію ділення залишаться ще до кінця не сформованими. А тому при вивченні наступних тем необхідно не забувати про виконання вправ, спрямованих на закріплення уявлень школярів про конкретний зміст дії ділення з остачею. Недостатня увага до цієї роботи спричинятиме додаткові труднощі при вивченні дітьми письмових прийомів ділення.

8.15. Теоретико-методичні основи розгляду позатабличних випадків множення і ділення.

8.15. Які ж випадки множення і ділення відносяться до позатабличних? – випадки множення і ділення круглих чисел на одноцифрове число, наприклад: 303, 40:2; випадки ділення круглого двоцифрового числа на кругле двоцифрове, наприклад: 80:20; випадки множення двоцифрового числа на одноцифрове та одноцифрового числа на двоцифрове, наприклад: 243, 328; випадки ділення двоцифрового числа на одноцифрове число, наприклад: 39:3, 72:3, 50:2; випадки ділення двоцифрового числа на двоцифрове, наприклад: 64:16. Крім цього матеріалу тут розглядається ще й такі властивості дій: правило ділення числа на добуток, правило множення суми на число та числа на суму, правило ділення суми на число, правила перевірки дій множення і ділення. Ознайомлення з вказаними правилами проводиться перед введенням відповідних прийомів обчислень, бо вони є теоретичною основою цих прийомів.

Приступаючи до вивчення позатабличних випадків множення і ділення у межах ста, вчитель повинен проаналізувати типові помилки, яких можуть припускатися учні у цій темі, з’ясувати причини їх появи та виявити шляхи попередження і подолання. Зробити це можна на основі вивчення методичної літератури, аналізу результатів вивчення стану викладання та рівня знань школярів, спостереження за роботою вчителів. Аналіз продуктів діяльності учнів дозволяє стверджувати, що досить часто вони змішують прийоми позатабличного множення і ділення з прийомом додавання, наприклад: 352=302+5=65, 68:2=60:2+8=38.

Для попередження чи усунення вказаних помилок слід використовувати прийоми зіставлення і протиставлення, пропонуючи:

1) розв'язування з детальними записами і поясненнями пар прикладів виду 164 і 16+4, 36:3 і 36+3, виявляючи істотну відмінність у прийомах;

2) обговорення неправильних розв’язувань так, щоб учні по можливості самі знаходили помилки та пояснювали суть неправильного розв'язування;

3) виконувати перевірку розв'язування прикладів на позатабличне множення діленням добутку на один з співмножників, а ділення – або множенням частки на дільник, або діленням діленого на частку, причому перевірку корисно виконувати переважно усно.

Аналіз вказаних матеріалів дозволяє зробити висновок, що непоодинокі випадки змішування різних прийомів позатабличного ділення, коли діти замість прийому підбору частки використовують прийом ділення двозначного числа на однозначне. Вони ділять десятки на десятки, а одиниці на одиниці, наприклад: 88:22=44, 36:12=33. Для попередження таких помилок слід також пропонувати вчителям використовувати вказаний прийом. Так, для одночасного розв'язування пропонуємо приклади виду 88:22 і 88:2, порівнюючи не тільки самі приклади, але й прийоми їх обчислення. Доцільно також проводити обговорення неправильно розв’язаних прикладів, виявляючи при цьому помилку. Певна частина дітей допускає помилки у табличних випадках множення і ділення, коли вони є окремими операціями позатабличного множення і ділення, наприклад: 193 = (10+9)3 = 103 + 93 =30+24=54, 72:4=(40+32):4=40:4+32:4=10+6=16. Для усунення таких помилок потрібна індивідуальна робота з учнями, які їх допускають.

При діленні з остачею поширені помилки, які обумовлені неправильним виділенням числа, яке ділять на дільник, наприклад: 65:7=8(ост.9). Для попередження та усунення таких помилок слід розглядати вправи на виявлення помилок при розв’язуванні прикладів виду 43:7=5(ост.8), проводити обговорення помилок, навчити дітей виконувати перевірку розв’язання прикладів на ділення з остачею, шляхом порівняння остачі і дільника та шляхом додавання до добутку частки і дільника остачі.

Таким чином, аналіз методичної літератури, вивчення досвіду роботи вчителів новаторів дозволяють зробити висновок про те, що для усунення помилок, які можуть виникати при вивченні позатабличних випадків множення і ділення у межах ста та які можуть виявитися досить стійкими, слід використовувати відповідно до індивідуальних особливостей дітей наступні прийоми:

- повернення до використання наочності;

- опору на зорову пам’ять (виписування складних прикладів з таблиць, складання та записування трійок взаємопов’язаних прикладів на множення і ділення, використання засвоєних дитиною прикладів як опорних);

- повернення до використання раніше вивчених прийомів обчислень.

Проведені дослідження свідчать, що з метою подолання недоліків при діленні двозначного числа на двозначне та при множенні двозначного числа на однозначне слід використовувати відповідно до індивідуальних особливостей школярів такі прийоми роботи:

- систему неперервного повторення;

- усний рахунок;

- різноманітні форми роботи, які активізують увагу учнів;

- своєчасне виявлення причин помилок і проведення як колективної, так й індивідуальної роботи з дітьми;

- цілеспрямоване повторення найскладніших випадків додавання та віднімання чисел з переходом через десяток, множення та ділення чисел в межах 100;

- використання різноманітних видів самостійних робіт з поетапним обмеженням у часі.

Однією з причин вказаних і цілого ряду інших помилок є недоліки у теоретико-методичній підготовці вчителів початкових класах. Саме з огляду на це та враховуючи індивідуальні особливості молодших школярів, вчитель повинен володіти ТМО особистісно-зорієнтованого навчання математики. Сутність досить поширеної помилки вчителів при першому поясненні усних обчислювальних прийомів полягає в тому, що відбувається пропуск проміжних результатів обчислень. Причина цього полягає в тому, що вчитель відділяє планування системи операцій від їх виконання, а при поясненні називає лише план обчислень, але не обчислює. Наслідком цього є те, що учень, повторюючи вчителя, пояснює як потрібно обчислювати, але не обчислює. Якщо сильні учні не відчувають цього, то для слабших такий підхід стає причиною помилок і неусвідомлення відповідних обчислювальних прийомів. Для подолання таких помилок слід звертати увагу на необхідність не лише називання, але й виконання дій та обчислення проміжних результатів.

Зазначимо, що досить часто вчителі невиправдано ускладнюють систему операцій, що складає зміст обчислювального прийому та включають у його пояснення різноманітні надлишкові відомості (пояснення не лише нового, але й всіх використовуваних у цьому прикладі обчислень; включення у пояснення надлишкової термінології; використання узагальненого формулювання “одержаний результат”; включення у правильне пояснення обчислювальних прийомів фраз, які не відповідають суті прийому тощо). Якщо сильні учні здатні засвоїти прийоми обчислень і за таких умов, то для решти школярів це створює додаткові труднощі на шляху оволодіння відповідними обчислювальним прийомами.

Непоодинокі випадки, коли вчителі відчувають труднощі при поясненні прийомів обчислень у часткових випадках, тобто коли потрібно вносити певні зміни у систему вже відпрацьованих операцій. Досить часто вчителі не приділяють належної уваги формуванню вмінь переносити окремі вивчені прийоми на загальні випадки та навпаки, а при засвоєнні алгоритмів обчислень недооцінюють наочно-предметну діяльність. Саме тому наочні опори на уроках використовуються не завжди продумано та з користю для навчання.

ТМО формування обчислювальних навичок з необхідністю вимагають приділяти значну увагу при ознайомленні з новим обчислювальним прийомом підготовчим вправам, які допоможуть учням самостійно відкрити новий обчислювальний прийом, і використовувати рекомендовані наочні посібники. Спостереження за практикою роботи вчителів свідчить, що непоодинокі випадки коли вони, по-перше, не приділяють належної уваги підготовчій роботі, по-друге, не володіють ТМО формування відповідних обчислювальних прийомів, по-третє, не враховують типових помилок при формуванні прийомів обчислень. Деякі типові помилки, причини їхньої появи та шляхи подолання ми назвали вище, а тепер перейдемо до висвітлення сутності підготовчої роботи та ТМО особистісно-зорієнтованого формування обчислювальних прийомів усних обчислень у межах ста.

Прийоми позатабличного множення і ділення у межах 100 спираються на знання табличних випадків множення і ділення, уміння представляти число у вигляді суми двох доданків і виконувати множення і ділення чисел, що закінчуються нулями. Саме це складатиме сутність підготовчої роботи до розгляду позатабличних випадків множення і ділення у межах ста. Для того, щоб досягти цього, використовується, як свідчить аналіз методичної літератури та спостереження за роботою вчителів новаторів, така система вправ:

1) представити число у вигляді суми двох доданків, кожний з яких ділиться на вказане число, наприклад для випадку 42:6 учні можуть запропонувати представити ділене 42 у вигляді суми таких доданків, кожний з яких ділиться на 6: 30+12, 24+18, 36+6 тощо;

2) обчисліть значення виразів 25:5, (25+5):5;

3) порівняйте вирази: (36+6):6 і 30:6+6:6;

4) випишіть пари чисел, кожне з яких буде ділитися на 6 і перевірте чи буде ділитися на це число сума чисел, наприклад: 40, 24, 18, 16, 22, 34, 15, 20. (24 і 18, 24+18=42, 42:6 тощо). Після виконання вказаних вправ для особистісної орієнтації навчального процесу у відповідності з індивідуальними особливостями учнів корисно запропонувати дітям дати відповіді на такі запитання: на яке однозначне число можна збільшити (зменшити) число 42, щоб сума (різниця) ділилася на 6? На яке однозначне число можна збільшити (зменшити) число 18, щоб сума (різниця) ділилася на 6?;

6) для кожного числа 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 підберіть дільник так, щоб у частці одержати 10;

7) на які однозначні числа ділиться число 20, 40, 60, 80?;

8) яке однозначне число можна додати до 20, щоб сума ділилася на 8?;

9) назвіть найбільше (найменше) число, яке закінчується 0 і яке ділиться на 5?;

10) складіть різні рівняння з числами 60, х, 5.

Проведення такої підготовчої роботи значно зменшить труднощі школярів при засвоєнні відповідних позатабличних прийомів множення і ділення у межах ста. Разом з тим, слід пам’ятати, що перед введенням чергового обчислювального прийому проводиться своя підготовча робота.

ТМО формування вмінь і навичок, які ґрунтуються на знаннях правил, законів і принципів, передбачається обов’язкове проходження через такі етапи: 1) ознайомлення зі зразком дії; 2) оволодіння вмінням застосовувати правила, поняття тощо; 3) удосконалення набутих умінь, прищеплення навичок; 4) використання їх у різноманітній практичній і творчій діяльності. Спостереження за роботою вчителів показують, що вони правильно організовують роботу на перших трьох етапах, а от на четвертому не вміють дібрати доцільні методи й прийоми, методично правильно опрацювати завдання підручника, не створюють умов для самостійного пошуку раціональних прийомів застосування набутих знань, умінь і навичок у різноманітній діяльності, використовувані вправи не сприяють розвитку мислительних операцій (аналізу, синтезу, порівняння, узагальнення тощо), формуванню вмінь переносити окремі вивчені прийоми на загальні випадки і навпаки.

Як відомо, здатність до згортання – один з компонентів математичного мислення. Саме тому слід цілеспрямовано керувати процесом згортання, переводячи учнів від одного рівня узагальнення, способу дії до іншого. Система вправ при цьому повинна будуватися так, щоб здійснювалася стала взаємодія усних міркувань і відповідного письмового вираження послідовності дій. Для того, щоб привчати учнів до швидкого виконання обчислень, необхідна система спеціальних вправ, спрямованих на формування узагальнених знань обчислювальних прийомів. Досягти успіху можна лише за умови особистісної зорієнтованості навчального процесу. Відсутність такої роботи негативно впливатиме на результативність вивчення математики молодшими школярами.

Як відомо, всякий обчислювальний прийом складається з певної послідовності дій, яку повинен виконати учень, щоб одержати результат. Успішність оволодіння прийомом обумовлюється умінням виконувати без труднощів будь-яку з складових операцій та при умові знання послідовності їх виконання, а при наявності кількох прийомів ще й уміння обрати прийом зручний для розглядуваного випадку. Головна умова успіху у формуванні уміння його застосовувати – це чітка відпрацьованість кожної дії та засвоєння строго визначеної послідовності їх повторення. Швидкість утворення навички знаходиться у прямій залежності від системи навчально-тренувальних вправ.

Об’єктивним показником просування учнів у засвоєнні навчального матеріалу є темп виконання вправ, який слід варіювати відповідно до індивідуальних особливостей учнів відносно засвоєння матеріалу. Успішно оволодіти прийомом можна тоді, коли учні вміють виконувати без труднощів будь-яку із складових операцій та знають послідовність їх виконання. Якщо виконання вправи допускає використання кількох прийомів, то діти повинні уміти обрати прийом, зручний для розглядуваного випадку.

Отже, розкриваючи сутність обчислювального прийому, слід приділяти належну уваги формуванню його структурних компонентів, темпу та умовам його використання. Вчителеві необхідно пам’ятати, що переключення уваги з однієї обчислювальної операції на іншу в багатьох учнів спочатку викликає труднощі. Для того, щоб сформувати в учнів здатність знаходити різні обчислювальні прийоми, потрібно з метою досягнення зони актуального розвитку пропонувати дітям вправи, в яких слід знайти вказану кількість різних способів обчислень, наприклад: обчисли 125 різними способами, знайди частку 64:4 двома способами тощо.

При формуванні обчислювальних навичок вчитель повинен враховувати, що процес оволодіння ними досить складний і тривалий: спочатку учні засвоюють певний обчислювальний прийом, а потім завдяки тренуванню навчаються швидко виконувати обчислення. Крім того, у кожному концентрі вивчається досить велика кількість обчислювальних прийомів, а тому не всі учні зразу в змозі засвоїти їх. Таким чином, вчитель повинен розуміти, що в силу індивідуальних особливостей дітей буде необхідна систематична і довготривала робота для вироблення обчислювальних навичок. Для того, щоб при їх виробленні робота не була нудною та одноманітною, слід її урізноманітнювати. Досвід роботи вчителів свідчить, що учні не губитимуть інтерес до виконання усних вправ тоді, коли завдання будуть різноманітними та нестимуть додаткове навантаження, наприклад: 1) половину числа 12 помножте на 14, до половини числа 60 додайте 24; 2) число 36 поділіть на 18, 17, 16, 15; 3) при діленні числа на 8 одержали остачі 7 і 2. Яке число ділили?; 4) суму чисел 9, 6 і 5 збільшить у три рази; 5) придумайте пари чисел, добуток (частка) яких дорівнює вказаному числу; 6) від добутку чисел 2, 3, і 10 відніміть 5.

Вироблення обчислювальних навичок вимагає виконання значної кількості однотипних вправ, а для того, щоб урізноманітнити цю роботу, можна використати такі прийоми варіювання завдань:

1) поясність чому та як змінюються результати у прикладах: 70–5, 705, 40+5, 405;

2) не обчислюючи, порівняйте вирази: 70–5*705, 40+5*405;

3) знайти приклади з однаковими відповідями: 70–5, 40+15, 135, 115, 40+25, 70–15 тощо;

4) запис прикладів під диктовку, що дасть змогу повторити назви компонентів арифметичних дій, правила порівняння чисел та збільшення чи зменшення числа у кілька разів;

5) виписати та розв’язати лише ті приклади, відповідь у яких однозначне число, круглий десяток, складається з одиниць першого та другого розряду тощо;

6) придумати приклади, відповідь яких має певну закономірність.

Н.Менчинська довела, що значна частина помилок спричинюється не тим, що діти не засвоїли властивостей арифметичних дій, а тим, що вони не вміють ними практично користуватися. Аналіз ТМО формування обчислювальних прийомів свідчить, що прийоми обчислень, які ґрунтуються на властивостях арифметичних дій, включають в себе три операції: заміна числа сумою розрядних або зручних доданків, читання одержаного прикладу та виконання дії зручним способом. Саме тому особистісна спрямованість при їх поясненні полягатиме у врахуванні індивідуальних особливостей школярів, у відпрацюванні вказаних операцій. На жаль, дослідження показують, що найчастіше у практиці роботи вчителів відбувається пропуск другої операції, бо вони, вважаючи її допоміжною, а не основною, випускають її з поля зору. Завдяки цьому (пропуск допоміжних операцій) діти не усвідомлюють до кінця теоретичної основи розглядуваних прийомів і не вбачають зв'язку усних і письмових обчислень.

Ми вже зазначали, що, по-перше, ТМО навчання школярів будь-якому матеріалу потребують проходження трьох етапів (підготовчий, ознайомлювальний і формуючий), а по-друге, ознайомлення учнів з кожним новим обчислювальним прийомом вимагатиме відповідної підготовчої роботи з метою актуалізації опорних знань, умінь і навичок. Теоретичною основою випадків множення і ділення круглих чисел на одноцифрове число (наприклад: 303, 40:2) є табличні випадки множення і ділення одноцифрових іменованих чисел на одноцифрове число. Саме тому підготовчою роботою до ознайомлення учнів з цими прийомами обчислень є повторення табличних випадків множення і ділення та розв'язування вправ виду 30 це 3 десятка, 5 дес.=50. Безпосередньо на уроці, де вводяться ці прийоми обчислень, слід розв’язати кілька аналогічних вправ з метою актуалізації опорних знань школярів.

Можливі принаймні такі варіанти ознайомлення учнів з цими прийомами обчислень: 1) вчитель у вигляді бесіди пояснює відповідний прийом; 2) вчитель пропонує учням розглянути у підручнику відповідну сторінку і пояснити спосіб обчислень; 3) створюється проблемна ситуація, розв’язавши яку учні самостійно відкриють прийом обчислень. Відповідну роботу при використанні третього варіанту вчитель може провести так: скільки у числі 30 десятків? – три. Чи може хтось знайти результат обчислень 303? – 3 дес.3. Це буде 9 десятків або 90. Чому? – бо 3 дес.3=9 дес. Отже, 303=90. Після цього учням пропонується розглянути таблиці №№ 8.37. і 8.38. Праву таблицю можна використати для того, щоб діти самостійно відкрили прийом ділення круглого двоцифрового числа на одноцифрове число.

Таблиця № 8.37. Таблиця № 8.38.

30  3 = 90		60 : 2 = ∆∆
3 дес.  3 = 9 дес.		 дес. : 2 =  дес.
9 дес. = 90		 дес. = ∆∆

Що є теоретичною основою прийомів обчислень у випадках виду 240? – переставний закон множення чи правило множення числа на добуток. Що ж буде підготовчою роботою до ознайомлення учнів з цим прийомом обчислень? – повторення переставної властивості множення та правила множення числа на добуток. Які вправи слід розв’язати з метою актуалізації опорних знань школярів? – знайти значення виразу 415, користуючись результатом прикладу 154=60; представте число 50 у вигляді добутку одноцифрового числа і десяти (наприклад, 50=510). Після цього пропонуємо учням знайти можливі варіанти обчислення значення виразу 240. Якщо ніхто з дітей не запропонує жодного варіанту, то можна з метою допомоги використати наочні опори: 240=40 або 240=24. Ознайомивши дітей з різними варіантами обчислень у вказаних випадках, не потрібно віддавати перевагу тому чи іншому способові обчислень. Слід надавати можливість кожному школяреві обирати той спосіб обчислень, який для нього найкращий і зрозуміліший, тобто той, який у кінцевому рахунку швидко приводить його до правильного результату.

Що буде теоретичною основою та підготовчою роботою до розгляду випадків ділення круглих двоцифрових чисел? (Виконайте завдання № 29 для самостійної роботи!). Розглянемо ТМО ознайомлення учнів з правилом ділення числа на добуток. Вони є подібними до тих, які ми розглядали при ознайомленні учнів з позатабличними випадками додавання і віднімання в межах ста. Як відомо, ця робота включала в себе підготовку до вивчення властивості, ознайомлення з нею та її застосування до розкриття змісту відповідного прийому.

Аналіз практики роботи вчителів новаторів свідчить, що провести роботу можна принаймні за двома варіантами. При першому вчитель, використовуючи бесіду, пояснює правило: як обчислити значення виразу 18:(23)? – знайти добуток 2 і 3 і обчислити частку 18:6=3. А чи є інші способи обчислення? – можна спочатку 18 поділити на перший множник 2, а потім одержаний результат поділити на другий множник 3, тобто 18:(23)=(18:2):3=9:3=3. Чи однакові результати ми отримали в обох випадках? – однакові. А чи є ще спосіб обчислень? – так. Можна спочатку поділити 18 на другий множник 3, а одержаний результат поділити на перший множник 2, тобто 18:(23)=(18:3):2=6:2=3. Чи такий самий результат ми отримали? – так. Як же можна поділити число на добуток? – є три способи: 1) спочатку знайти добуток, а потім поділити на нього число; 2) поділити спочатку число на перший множник, а одержаний результат поділити на другий множник; 3) спочатку поділити число на другий множник, а одержаний результат поділити на перший множник. Після цього пропонуємо учням прочитати записане у підручнику правило. Який із знайдених способів будемо використовувати? – той, який найзручніший для кожного випадку.

Використовуючи інший варіант пояснення, вчитель повинен підвести учнів до самостійного відкриття розглянутих прийомів. Для цього вчитель пропонує учням самостійно знайти три способи обчислення значення виразу 18:(23). З метою особистісної орієнтації навчального процесу деяким учням слід запропонувати допомогу у вигляді опорних схем: 18 : () = 18 :  = ; 18 : () = (18 : ) :  = ; 18 : () = (18 : ) :  = . Коли школярі знайдуть всі способи обчислень, їм пропонується сформулювати відповідне правило, а для закріплення вони прочитають його у підручнику.

Формування уміння виконувати множення числа на дубуток відбувається при виконанні наступних вправ: 1) виконати обчислення різними способами і вказати найзручніший: 24:(32), 60:(32); 2) обчислити зручним способом і обгрунтувати свій вибір: 36:(29), 80:(82), 64:(82); 3) виконати ділення, розкладаючи дільник на множники: 72:18, 54:27, 80:20. Після такої підготовчої роботи можна у відповідності з індивідуальними особливостями школярів запропонувати різні варіанти ознайомлення дітей з прийомом обчислень у випадках виду 60:30.

Досвід роботи вчителів новаторів свідчить, що з метою особистісної орієнтації навчального процесу відповідно до індивідуальних особливостей дітей їх потрібно познайомити з використанням способу випробувань для обчислення значень виразів виду 60:30. Зробити це можна так: що означає поділити 60 на 30? – потрібно знайти таке число, яке у добутку з числом 30 дасть нам 60. Яке число перевіримо7 – число 1. 301=30, отже, число 1 не підходить. Перевіримо число 2. 302=60, отже, число 2 підходить. Таким чином, 60:30=2.

Теоретичною основою прийомів обчислень у випадках множення двоцифрового числа на одноцифрове та одноцифрового числа на двоцифрове (наприклад, 243, 328) є правило множення суми на число, переставний закон множення та правило множення числа на суму. Саме тому перед ознайомленням з новим для учнів прийомом обчислень необхідно їх ввести. Оскільки ознайомлення з вказаними правилами і законом відбувається аналогічно до розглянутих вище, то пропонуємо студентам виконати завдання № 31 для самостійної роботи.

Завершується ця робота формулюванням відповідних правил: 1. Щоб помножити суму на число можна: 1) знайти суму і одержаний результат помножити на число; 2) помножити на це число кожний доданок і знайдені добутки додати. 2. Щоб помножити число на суму можна: 1) знайти суму і одержаний результат помножити на число; 2) помножити число на кожний доданок суми і одержані добутки додати. Після такої підготовчої роботи проводиться ознайомлення учнів з прийомом обчислень для випадків виду 234.

Ознайомити учнів з цим прийомом обчислень можна також принаймні двома способами. Зупинимося лише на тому, який допоможе школярам самостійно відкрити спосіб обчислень. Безпосередньо на уроці пропонуємо учням виконати наступні вправи: 1) знайдіть добуток двома способами: (6+4)2; 2) розв’яжіть зручним способом: (20+4)3, (8+4)7; 3) знайдіть значення виразів, обчислюючи спочатку значення у дужках: (3+2)7, (4+3)8, (8+4)7. Дидактична мета останньої вправи полягає в тому, щоб створити проблемну ситуацію, коли діти зустрілися з випадком множення, що ще не розглядався. Далі вчитель пропонує знайти добуток чисел 22 і 3. Для одних учнів вчитель пояснить спосіб обчислень, для других – запропонує продовжити запис: 223=(20+2)3=203+3=+=, а для інших – запропонує самостійно знайти спосіб обчислень. Для дітей, яким потрібні наочні опори, можна використати представлені у підручнику таблиці (див. таблиці №№ 8.39. і 8.40.) зі структурним записом способу обчислень (справа представлена таблиця, яку можна використати при поясненні прийому обчислень одноцифрового числа на двоцифрове). Оскільки прийом обчислень у випадках множення одноцифрового числа на двоцифрове можна ввести аналогічно, то пропонуємо студентам виконати завдання №32 для самостійної роботи.

Таблиця № 8.39. Таблиця № 8.40.

2 23= 20 2		4 18= 10 8
203=60 23=6 60+6=66		410=40 48=32 40+32=72

Особливий інтерес складає розгляд прийомів обчислень у випадку ділення двоцифрового числа на одноцифрове, наприклад: 39:3, 72:3, 50:2. Справа в тому, що у цих випадках використовується три різні варіанти обчислень:

1) розклад діленого на розрядні доданки з наступним використанням правила ділення суми на число, наприклад, 39:3=(30+9):3=30:3+9:3=10+3=13;

2) розклад діленого на суму зручних доданків, кожний з яких повинен ділитися на дільник, з наступним використанням того ж правила, наприклад, 72:3=(60+12):3=60:3+12:3=20+4=24;

3) ділене розкладається на суму двох круглих чисел, кожне з яких ділиться націло на дільник, а потім використовується правило ділення суми на число, наприклад, 50:2=(40+10):2=40:2+10:2=20+5=25.

Одним з варіантів ознайомлення учнів з цими прийомами обчислень може стати пояснення або обґрунтування прийому з допомогою структурних записів, які представлені у таблиці (див. таблиці №№ 8.41., 8.42., 8.43.).

Таблиця № 8.41. Таблиця № 8.42. Таблиця № 8.43.

39:3= 30 9		72:3= 60 12		50:2= 40 10
30:3=10 9:3=3 10+3=13		60:3=20 12:3=4 20+4=24		40:2=20 10:2=5 20+5=25

Наступним прийомом позатабличного ділення, з яким знайомляться учні, є випадки ділення двоцифрового числа на двоцифрове, наприклад: 42:14. Для його засвоєння учні повинні володіти прийомом перевірки множення і ділення та усвідомлювати зв’язок дій множення і ділення. Введення цих правил проводиться так само, як і попередніх. Наприклад, М.Богданович, М.Козак, Я.Король пропонують для введення правила перевірки ділення множенням використати бесіду за наступною таблицею (див. таблицю № 8.44.).

Таблиця № 8.44.

Ділене	Дільник	Частка	Добуток частки і дільника
48	6	8	86=48
36	9		9=36
27	3		=

Вчитель пропонує дітям знайти частку чисел 48 і 6, а потім запитує: чому дорівнює частка? – 8. Чому дорівнює дільник? – 6. Що одержимо, якщо помножимо частку на дільник? – ділене 48. Аналогічна робота проводиться з іншими прикладами. Ця робота завершується висновком: ділене дорівнює добутку частки і дільника. Якщо після множення частки на дільник не дістали ділене, то в обчисленні допущено помилку. Коли учні засвоять спосіб перевірки ділення множенням, вводиться прийом обчислення частки від ділення двоцифрового числа на двоцифрове, який спирається на зв’язок дій ділення і множення та на правило перевірки ділення множенням.

Аналіз методичної літератури, вивчення досвіду роботи вчителів дозволяють зробити висновок про необхідність розпочинати ознайомлення учнів з прийомом позатабличного ділення на двоцифрове число з розгляду прикладів, які у частці дають числа 2 або 3. Це пояснюється тим, що для знаходження частки у таких випадках вимагається лише одна чи дві проби, а тому учням краще усвідомити сутність прийому, наприклад: 51:17, 72:24 тощо. Враховуючи сказане, роботу з ознайомлення школярів з цим прийомом можна провести так: ми розглянули різні випадки множення і ділення, але ще не вміємо ділити двоцифрове число на двоцифрове. Разом з тим, ми вивчили зв’язок між діями множення і ділення та навчилися перевіряти ділення множенням. Спробуємо знайти прийом обчислень для випадків виду 42:14. У таких випадках частку шукають способом, який має назву способу випробувань. Використовуючи його, добирають числа і перевіряють чи підходить воно на основі правила перевірки ділення множенням, тобто множать число на дільник (див. таблицю № 8.45.).

Таблиця № 8.45.

42:14=
Спочатку спробуємо перевірити число 2.	142=28, 28 менше 42, а тому число 2 не підходить.
Перевіримо число 3.	143=42, отже, число 3 підходить і частка чисел 42 і 14 дорівнює 3.

Після цього корисно провести таку роботу: чому ми не перевіряли числа 1? – бо 141=14. Чи обов’язково розпочинати перевірку з числа 2? – ні. А чи не може хтось підказати, як раціоналізувати знаходження частки? – якщо учні не скажуть, то вчитель повідомить: щоб раціоналізувати знаходження частки, слід подумати: при множенні на яке число остання цифра дільника дає нам останню цифру діленого. Наприклад, у нашому прикладі, щоб одержати останньою цифрою добутку 2, потрібно 4 множити на 3 чи на 8. Оскільки 8 не підходить, бо 148 більше ніж 80, то перевіряти слід 3. Спостереження за роботою учнів свідчить, що вони з труднощами оволодівають цим прийомом, а тому він вимагатиме виконання значної кількості вправ з коментуванням, які допоможуть усвідомити його сутність.

Основним засобом закріплення розглянутих випадків позатабличного множення і ділення є обчислення значень виразів на одну чи дві дії. Успіху досягти можна буде лише тоді, коли відбувається збільшення обсягу самостійних і творчих завдань. Вони повинні стимулювати розвиток активності, пошукову діяльність. Надзвичайно важливо щоб використовувалися вправи, спрямовані на узагальнення знань, умінь і навичок. Виходячи з головних завдань узагальнюючого повторення, вправи, які входять до цієї системи, повинні сприяти розвиткові всіх логічних операцій (особливо таких, як аналіз, порівняння і узагальнення), формуванню уміння переносити знання у нові умови, містити загальні випадки та використовувати загальні положення при розгляді конкретних випадків обчислень.

У процесі узагальнюючого повторення виникає необхідність у проведенні вправ з комплексного використання раніше набутих знань, вмінь і навичок. На уроках узагальнюючого повторення слід широко використовувати стимули, які викликають пізнавальний інтерес учнів до пройденого матеріалу. До таких стимулів можна віднести новизну змісту, цікавість та емоційність матеріалу, наочні посібники, різні форми опитування, дидактичні матеріали, прийоми порівняння і протиставлення, дидактичні ігри тощо.

Завдання для самостійної роботи студентів: 1. На основі аналізу підручника з математики для 3 класу і методичних посібників для вчителів проведіть класифікацію усних прийомів обчислень концентру “Тисяча” спочатку за зовнішнім виглядом чисел, а потім за теоретичною основою, що лежить в основі обчислювальних прийомів. 2. На основі аналізу підручника з математики для 3 класу та методичних посібників для вчителів розробіть варіанти особистісно-зорієнтованого ознайомлення учнів з обчислювальними прийомами у випадках множення і ділення виду 1003, 3100, 500:10, 500:100, 700:7, 2004, 900:3. 3. Розробити різні варіанти особистісно-зорієнтованого ознайомлення учнів з правилами множення і ділення, які вивчаються у концентрі “Тисяча”. 4. Проаналізувавши підручник з математики для 3 класу та методичні посібники для вчителів, розробіть різні варіанти особистісно-зорієнтованого підходу до ознайомлення учнів з випадками множення і ділення виду 708 і 420:6. 5. Підготувати фрагменти уроків з ознайомлення школярів з письмовими прийомами додавання і віднімання трицифрових чисел, передбачивши в них відповідно до індивідуальних особливостей учнів не менше двох варіантів особистісно-зорієнтованого пояснення. 6. Проаналізувавши систему вправ підручника, випишіть вправи, які слід використати для актуалізації опорних знань перед ознайомленням з письмовим прийомом ділення, та опишіть методику роботу з кожною з них. 7. Описати різні варіанти показування необхідності введенні письмового прийому ділення на одноцифрове число. 8. Підготуйте фрагменти уроків, на яких розглядаються випадки ділення виду 370:2, 804:3 та обґрунтуйте різні варіанти пояснень учнів.

Модуль 3. «Теоретико-методичні основи вивчення арифметичних дій над цілими невід’ємними числами в курсі математики початкових класів.».

Змістовний модуль 3.4. (ЗМ₃₄): «Теоретико-методичні основи вивчення множення та ділення багатоцифрових чисел».

ПЛАН.

1. Теоретико-методичні основи вивчення усних прийомів множення та ділення чисел у концентрі “Тисяча”.

2. Теоретико-методичні основи вивчення письмових прийомів множення та ділення чисел у концентрі “Тисяча”.

3. Теоретико-методичні основи вивчення усних прийомів множення та ділення у концентрі “Багатоцифрові числа”.

4. Теоретико-методичні основи вивчення письмових прийомів множення та ділення у концентрі “Багатоцифрові числа”.

1. Теоретико-методичні основи вивчення усних прийомів множення і ділення в концентрі “Тисяча”.

1. Які ж випадки арифметичних дій розглядаються у концентрі “Тисяча”? – у цьому концентрі всі прийоми обчислень поділяються на усні та письмові. Як відомо, до письмових прийомів відносять ті, які виконуються однаково всіма за певним алгоритмом, із записом проміжних результатів і розпочинаються з нижчих розрядів. Характерною особливістю усних прийомів є те, що вони виконуються з вищих розрядів, без запису проміжних результатів і можуть виконуватися по-різному кожним обчислювачем. Аналіз програми і відповідних підручників з математики для початкових класів дозволяють твердити, що у даному концентрі учні ознайомлюються з такими усними прийомами обчислень:

1) випадки додавання і віднімання круглих чисел виду 200+700, 800-300, 60+90, 120-30, 520+340, 470-320, 430+500, 430+50, 760-400, 760-40, 230+70, 200-60, 380+590, 420-70;

2) випадки множення і ділення круглих чисел виду 3100, 500:10, 500:100, 700:7, 2004, 900:3, 600:30, 708, 420:6, 360:3.

До письмових прийомів обчислень, що розглядаються у даному концентрі, відносяться:

1) додавання і віднімання трицифрових чисел, наприклад: 325+413, 487-235, 376+414, 225+384, 580-327, 807-423, 368+225, 674+163, 945-217, 676-394, 358+274, 325-146;

2) множення і ділення двоцифрових чи трицифрових чисел на одноцифрове число, наприклад: 2133, 376, 1273, 1823, 1516, 966:3, 864:4, 276:4, 822:6. Спробуйте класифікувати вказані випадки обчислень на основі аналізу підручника з математики для 3 класу (див. завдання № 33 для самостійної роботи).

Чи можна ознайомити учнів з усними прийомами додавання, віднімання, множення і ділення самостійно? – проведений аналіз методичної літератури, спостереження за роботою вчителів, проведені експериментальні дослідження переконливо свідчать, що з метою особистісної орієнтації відповідно до індивідуальних особливостей молодших школярів потрібно використовувати різні варіанти введення усних прийомів обчислень. Наприклад, при ознайомленні з прийомами обчислень у випадках виду 200+700, 800-300, 60+90, 120-30, 520+340, 470-320, 430+500, 430+50, 760-400, 760-40, 230+70, 200-60, 380+590, 420-70 можна запропонувати різні варіанти роботи вчителя. Одна група учнів ознайомлюється з відповідними обчислювальними прийомами самостійно за підручником, розглядаючи представлені у ньому таблиці (див. таблицю № 8.46.).

Для іншої групи учнів можна запропонувати такий варіант ознайомлення з прийомами обчислень у випадках виду 250+710, 670-440, 230+400, 230+40, 960-500, 960-50. Вчитель пропонує дітям усно розв’язати кілька прикладів на додавання і віднімання у межах ста, прийоми обчислень яких аналогічні до тих, що розглядаються, наприклад: 25+51, 67-44, 23+40, 23+4, 96-50, 96-5 тощо. Після цього учням пропонується знайти прийоми обчислень, продовживши записи виду:

1) 250+710=(200+50)+(700+10)=(200+700)+(50+)=+=;

2) 670-440=(600+70)-(+)=(600-)+(70-)=+=;

3) 230+400=(+)+(+)=(+)+(+)=;

4) 960-50=(+)-(+)=(-)+(-)=.

Для учнів, яким потрібні наочні опори, можна використати таблиці, аналогічні до таблиць підручника М.Богдановича (див. таблицю № 8.47.).

Таблиця № 8.46.

300+600=900	700-200=	70+60=	150-60=
3 сот.+6 сот.=9 сот. 9сот.=900, отже, 300+600=900	7сот.2сот.=сот., отже, 700-200=	6дес.+дес.=дес., отже, 70+60=	 дес.-дес.= дес., отже, -=

Таблиця № 8.47.

250 + 710=	6 70 - 440 = 	2 30 + 400 = 
200+50 700+10	600+70 400+40	200 + 
200+700=900 50+10=60 900+60=960 250+710=960	600-400=200 70-40=30 200+30=230 670-440=	200+= +=
230 + 40 = 	9 60 - 500 = 	9 60 - 50 = 
 + 	 + 	 + 
 +  =   +  = 	 -  =   +  = 	 -  =   +  = 

Ознайомлення учнів з випадками додавання і віднімання виду 230+70, 200-60, 380+590, 420-70 можна провести, враховуючи індивідуальні особливості школярів чи рівень математичної підготовки класу в цілому, у вигляді бесіди: на які розрядні доданки можна розкласти перший доданок у прикладі 230+70? – 200 і 30. Як зручніше до суми чисел 200 і 30 додати число 70? – до 30 додати 70, а потім до одержаного результату додати 200. Буде 300. Після того як діти познайомляться з прийомами додавання, які ґрунтуються на правилах додавання числа до суми чи суми до суми, потрібно познайомити їх з іншими варіантами обчислювальних прийомів у цих випадках. Наприклад, для випадку 420-70 це можна зробити так (див. таблицю № 8.48.).

Таблиця № 8.48.

4 20 - 70 = 	4 20 - 70 = 	420 - 70 = 
300 + 120	20 + 50	420=42 дес. 70=7 дес. 42 дес. – 7 дес. =  дес.  дес. = 
120-70=50 300+50=350 420-70=350	420-20= -50= 420-70=

Усні випадки множення і ділення у концентрі “Тисяча” можна розглядати за будь-яким із вказаних вище варіантів, враховуючи індивідуальні особливості учнів. Оскільки випадки множення і ділення виду 1003, 3100, 500:10, 500:100, 700:7, 2004, 900:3 вводяться аналогічно до відповідних випадків множення і ділення у концентрі “Сотня”, то пропонуємо студентам виконати завдання № 34 для самостійної роботи. Зазначимо, що розгляд цих випадків повинен завершуватися узагальненням у вигляді відповідних правил: 1. Щоб помножити число на 10, треба до нього справа приписати один нуль; щоб помножити число на 100, треба до нього справа приписати два нулі. 2. Щоб поділити число, яке закінчується нулями, на 10, треба в ньому відкинути справа один нуль; щоб поділити на 100, треба відкинути справа два нулі.

Перед розглядом усних прийомів множення і ділення виду 600:30, 708, 420:6, 360:3 спочатку вводяться правила, які є теоретичною основою цих випадків. Оскільки ознайомлення з цими правилами аналогічне до правил додавання і віднімання, то пропонуємо студентам виконати завдання № 35 для самостійної роботи, нагадавши їх: 1. Поділити число на добуток можна так: поділити число на один з множників, а потім результат поділити на другий множник. 2. Щоб помножити суму на число, можна помножити на це число кожний доданок і знайдені добутки додати. 3. Щоб помножити число на суму, можна помножити число на кожний доданок і здобуті результати додати. 4. Якщо другий множник - двоцифрове число, то його можна розкласти на десятки й одиниці, а потім перший множник помножити окремо на десятки та одиниці і результати додати. 5. Щоб поділити суму на число, можна поділити на це число кожний доданок і знайдені частки додати. Принагідно зазначимо, що вказані правила не слід заставляти учнів заучувати напам’ять.

Теоретичною основою випадків ділення виду 600:30 є правило ділення числа на добуток, а тому підготовчою роботою буде засвоєння цього правила та уміння представляти числа виду 30, 40, 50 тощо у вигляді добутку двох множників, один з яких є 10, а інший - одноцифрове число. Випадки множення і ділення виду 708 і 420:6 зводяться відповідно до випадків множення і ділення одноцифрових чи двоцифрових іменованих чисел на одноцифрове число. Саме тому з метою актуалізації опорних знань, умінь і навичок учнів слід розв’язати з ними приклади такого виду: 70=7 дес., 5 дес.=50, 420=42 дес. Ознайомлення школярів з цими випадками можна провести одним з вказаних вище прийомів. Засвоєння ТМО роботи з формування в учнів відповідних навичок обчислень стане можливим, якщо студент самостійно виконає завдання № 36, яке розміщене у кінці пункту.

Підготовчою роботою до ознайомлення учнів з випадками ділення виду 360:3 буде актуалізація опорних знань учнів про правило ділення суми на число та правило ділення двоцифрових іменованих чисел на одноцифрове число. Враховуючи сказане, ознайомлення учнів з прийомом обчислень у цьому випадку можна провести на основі бесіди з використанням таблиці № 8.49. Якщо учні не зможуть з допомогою наочних опор відшукати спосіб обчислень, то вчитель допоможе їм з допомогою таких запитань: на які розрядні доданки можна розкласти ділене? – на 300 і 60. Як поділити суму на число? – поділити кожний доданок окремо і одержані результати додати: 300:3 + 60:3 = 100+20 = 120.

Таблиця № 8.49.

360 : 3 = 	360 : 3 = 
360 =  +  360:3 = (+):3 = :3+:3 = + = 	360 = 36 дес. 36 дес. : 3 =  дес.  дес. = 

Як же ознайомлювати учнів з письмовими прийомами арифметичних дій у концентрі “Тисяча”? – практика навчання свідчить, що, по-перше, при засвоєнні письмових прийомів додавання і віднімання трицифрових чисел учні не відчувають значних труднощів тоді, коли вони засвоїли відповідні алгоритми для двоцифрових чисел; по-друге, при ознайомленні з письмовими прийомами множення і ділення школярі стикаються зі значними труднощами. Сутність цих труднощів розглянемо тоді, коли вивчатимемо відповідні алгоритми. ТМО вивчення будь-якого питання передбачається проведення підготовчої роботи перед введенням нового матеріалу. Саме з огляду на це слід з’ясувати суть підготовчої роботи до ознайомлення школярів з письмовими прийомами виконання арифметичних дій.

Яку ж підготовчу роботу необхідно провести, щоб усунути дітям зайві труднощі при ознайомленні з письмовими прийомами додавання, віднімання, множення і ділення? – оскільки у попередньому концентрі учні вже навчилися виконувати письмове додавання і віднімання, то потрібно перед введенням випадків письмового додавання і віднімання трицифрових чисел розглянути кілька прикладів на письмове додавання і віднімання з двоцифровими числами, звернувши особливу увагу на випадки, в яких є переходи через розрядну одиницю або доводиться позичати розрядну одиницю вищого розряду. Крім того, слід розв’язати приклади виду 12 од. = 1 дес. 2 од., 1 дес. 5 од. = 15 од., 1 дес. 7 од. – 9 од. = 8 од.

Підготовча робота до ознайомлення школярів з письмовими випадками множення і ділення повинна спрямовуватися на актуалізацію опорних знань, умінь і навичок, що лежать в основі відповідних письмових прийомів обчислень. Саме тому слід порозв’язувати вправи, які дозволять пригадати: конкретний зміст дії множення (приклади на заміну додавання множенням і навпаки); особливі випадки множення і ділення (приклади на множення і ділення з 0 і 1); табличні випадки множення і ділення; правила множення розрядних чисел на одноцифрове число; сутність застосування властивості множення суми на число (приклади виду 173, (5+4+7)6 тощо); перетворення одиниць вищого розряду в одиниці нижчого; сутність ділення з остачею; правило перевірки ділення множенням.

Який же порядок ознайомлення школярів з письмовими прийомами додавання, віднімання, множення і ділення? – випадки письмового додавання і віднімання розглядаються у такій послідовності:

1) прийоми письмового додавання без переходу через розряд, наприклад 523+132, 745+34;

2) випадки віднімання трицифрових чисел без переходу через розряд, наприклад 947-321, 275-64;

3) прийоми додавання, якщо в сумі в розряді одиниць чи сотень одержуємо нуль, наприклад 376+414, 225+384;

4) випадки віднімання, особливістю яких є те, що у зменшуваному число одиниць або число десятків дорівнює нулю, наприклад 503-122, 780-59;

5) прийоми додавання, які характеризуються тим, що сума одиниць чи десятків більша десяти, наприклад 452+239, 127+182;

6) випадки віднімання з переходом через розряд, наприклад 429-175, 453-227;

7) прийоми додавання і віднімання, в яких є по два переходи через розряд, наприклад 358+274, 325-146.

Порядок розгляду письмових прийомів множення і ділення такий:

1) випадки множення трицифрового числа на одноцифрове без переходу через розряд, наприклад 1323, 2014;

2) прийоми письмового множення дво- або трицифрового числа на одноцифрове з одним переходом через розряд, наприклад 376, 1273, 1823;

3) випадки множення на одноцифрове число, коли у добутку з’являється один нуль, наприклад: 1415;

4) випадки множення на одноцифрове число, коли у добутку з’являється два нулі, наприклад: 1254;

5) випадки письмового ділення трицифрового числа на одноцифрове число, якщо частка містить три цифри, наприклад 966:3, 864:4;

6) прийоми письмового ділення трицифрового числа на одноцифрове, якщо у частці одержуємо двоцифрове число, наприклад 276:4.

Що повинен знати вчитель перед тим, як перейти до ознайомлення учнів з прийомами обчислень у концентрі ”Тисяча”? – 1) типові помилки у діяльності вчителів і школярів, щоб не допустити їх у своїй роботі; 2) ТМО навчання учнів прийомам обчислень. Саме важливе, що повинні засвоїти учні початкових класів при виконанні алгоритмів письмових обчислень, – це засвоєння самих алгоритмів, тобто засвоєння окремих операцій, з яких складається кожен з алгоритмів, і засвоєння їх послідовності.

Розглянемо деякі типові помилки та вкажемо шляхи їх подолання. Так, наприклад, при виконанні усних обчислень типовою помилкою є наступна: 2512=500 замість 2512=300. Її причина полягає в тому, що вчитель не приділив належної уваги засвоєнню учнями властивостей множення числа на добуток та на суму, а тому діти їх плутають. Представивши число 12 сумою розрядних доданків 10 і 2, учень множить число 25 на добуток чисел 10 і 2. Для того, щоб запобігти таким помилкам, слід виконувати з учнями чимало вправ на порівняння відповідних прийомів обчислень, докладно їх пояснюючи і супроводжуючи розгорнутими записами. Наприклад, після виконання вправи “знайдіть добутки 870 і 817 та порівняйте прийоми обчислень (870=8(710)=(87)10=5610=560; 817 = 8(10+7) = 810 + 87 = 80+56=136)” вчитель у процесі порівняння повинен звернути увагу на наступне: а) в обох прикладах однакові перші множники, але різні другі; б) при розв’язуванні другий множник замінили однаковими числами 7 і 10; в) у першому прикладі другий множник 70 замінили добутком зручних множників 7 і 10 й використали властивість множення числа на добуток, а потім помножили 8 на перший множник і знайдений добуток на другий множник; г) у другому прикладі другий множник 17 замінили сумою розрядних доданків 10 і 7 й використали властивість множення числа на суму, помноживши спочатку 8 на перший доданок, потім на другий, а знайдені добутки додали. Вивчення досвіду роботи вчителів свідчить, що виокремити вказані обчислювальні прийоми можна при виконанні наступних вправ: 1) поставте потрібний знак і обґрунтуйте свій вибір: 32102*3212, 434+4310*4340, 56310*563+5610, 179+1710*1719.

Особливо багато помилок виникає при засвоєнні письмових прийомів і при виконанні письмових обчислень. Основні труднощі, які виникають під час опанування письмових прийомів множення та ділення, а також типові помилки, яких припускаються при цьому учні, зумовлені:

- недостатніми їхніми знаннями таблиць додавання, віднімання, множення і ділення;

- слабкими навичками позатабличного ділення та ділення чисел з остачею;

- недостатнім знанням самих алгоритмів обчислень.

Найбільшу складність при вивченні письмових прийомів ділення являють ті випадки ділення, коли при виконанні дій одержуємо нулі в деяких розрядах частки. Пропуск нулів - типова помилка. Основна причина її появи полягає в тому, що: 1) до виконання дій не визначається кількість цифр у запису частки; 2) щоразу не називається той розряд, який позначили у частці, а потім – розряд діленого, який продовжують ділити; 3) не перевіряється правильність виконання дії.

Як же ознайомлювати дітей з письмовими прийомами обчислень? – оскільки ТМО ознайомлення учнів з письмовими прийомами додавання і віднімання трицифрових чисел не мають принципових відмінностей з відповідними випадками для двоцифрових чисел, то пропонуємо студентам виконати завдання № 37 для самостійної роботи. Вивчення досвіду роботи вчителів свідчить, що у відповідності з індивідуальними особливостями учнів при підготовці дітей до письмового множення в усний рахунок корисно включати вправи виду 35+3, 67+5, 35+9 тощо, які дають змогу зняти певні труднощі при усвідомленні алгоритмів письмового множення.

На момент ознайомлення учнів з письмовими прийомами множення діти вже достатньо впевнено володіють усними прийомами множення, а тому їх слід переконати у доцільності введення нового способу множення. З цією метою необхідно вибрати для обчислення складний випадок усного множення трицифрового числа на одноцифрове, наприклад 2364 = (200 + 30 + 6)  4 = 200  4 + 30  4 + 6  4 = 800 + 120 + 24 = 944. Закінчивши обчислення, запитуємо учнів: чи зручно щоразу так виконувати множення? Після цього ознайомлення з письмовим прийомом можна провести по-різному відповідно до індивідуальних особливостей дітей. Для одних учнів слід провести бесіду за відповідним прикладом підручника 2133: яку дію слід виконати? - множення. Чому дорівнює перший множник? - 213. Скільки цифр він містить? – три. Скільки цифр використано для запису другого множника? – одну. Які розряди є у першому множнику? – розряди одиниць, десятків і сотень. Під яким розрядом записано другий множник? – під одиницями. З якого розряду розпочинатимемо письмове множення? – з одиниць. Що отримаємо, якщо 3 одиниці помножимо на 3? - 9 одиниць. Під яким розрядом запишемо одержаний результат? – під одиницями. Що будемо тепер множити на число 3? – десятки. Скільки одержимо десятків і де запишемо одержаний результат? – 3 дес., під десятками. Що будемо множити тепер на число 3? – сотні. Де запишемо результат? – під сотнями. Чому дорівнює добуток? – 639. Після цього учням пропонується виконати кілька прикладів на письмове множення з детальним поясненням, яке відповідно до індивідуальних особливостей повинне поступово скорочуватися.

Для інших школярів можна запропонувати розглянути відповідний приклад у підручнику і пояснити письмовий прийом множення. Якщо учні не зможуть зробити цього самостійно, то необхідно допомогти їм навідними запитаннями: яку дію слід виконати? – множення. Як записуємо множники? – один під одним, але другий множник записуємо під одиницями першого. Чому у добутку на місці одиниць одержали 9? – бо помноживши 3 одиниці на 3, одержимо 9 одиниць. Як отримали на місці десятків цифру 3? – один десяток помножили на 3 і отримали 3 десятка. Як отримали на місці сотень цифру 6? – дві сотні помножили на 3 і отримали 6 сотень. Після такого розв’язання можна запропонувати учням виконати кілька прикладів з коментуванням, а потім приклади можна розв'язувати самостійно.

З метою закріплення набутих умінь учні повинні виконувати приклади на сумісні дії. У процесі розгляду вказаних випадків учні поступово повинні скорочувати власні пояснення вголос виконуваних операцій, з яких складається алгоритм письмового множення, від детальних пояснень до пояснень про себе. Детальні пояснення можуть бути приблизно такими (покажемо це для випадку 1823): записуємо перший множник 182 і під одиницями записуємо другий множник 3. Праворуч ставимо знак множення, а під другим множником проводимо риску. Починаємо множити з одиниць. 2 од. помножити на 3 буде 6 од. цифру 6 записуємо під одиницями. Тепер 8 дес. множимо на 3. Буде 24 дес. Це 2 сот. і 4 дес. Цифру 4 записуємо під десятками, а 2 сот. запам’ятовуємо. Множимо сотні. 1 сот. помножити на 3 буде 3 сот. та ще 2 сот., які запам’ятовували, то буде 5 сот. Отже, отримали 546.

У міру засвоєння учнями алгоритму письмового множення пояснення можуть скорочуватися так: записуємо приклад. 2 од. помножити на 3 буде 6 од., які записуємо під одиницями. 8 дес. множимо на 3. Буде 24 дес. 4 записуємо під десятками, а 2 сот. запам’ятовуємо. 1 сот. множимо на 3. Буде 3 сот. та ще 2 сот. буде 5 сот. Отже, добуток дорівнює 546. Суть наступного скорочення полягатиме в тому, що учні можуть не називати розрядних одиниць. Вказані скорочення повинні застосовувати не зразу одночасно всі школярі, а воно повинне відбуватися поступово у відповідності з індивідуальними особливостями учнів. Разом з тим, вчитель повинен пам’ятати, що коли діти починають допускати помилки, то необхідно повернутися до детальніших пояснень.

Із яких операцій складається алгоритм письмового ділення на одноцифрове число? – перетворення одиниць вищого розряду в одиниці нижчого, наприклад: 2 сот.=20 дес.; ділення з остачею, наприклад: 24:7=37+3; табличне ділення одноцифрового чи двоцифрового числа на одноцифрове, наприклад: 28:7=4; множення, яке використовується при перевірці правильності знайденої цифри частки; віднімання, яке використовується при знаходження остачі; перевірка ділення множенням, яке використовується при визначенні правильності знайденої цифри частки; множення та ділення з одиницею і нулем.

Для того, щоб учні успішно засвоювали прийом ділення багатоцифрового числа на одноцифрове, слід повторити приклади на ділення однозначного числа на однозначне з остачею, двозначного числа на однозначне з остачею, щоразу порівнюючи остачу з дільником. Якою ж повинна бути підготовча робота до ознайомлення учнів з письмовим прийомом ділення? – її сутність полягатиме в тому, щоб відпрацьовувати всі вказані окремі операції. Підготовчими вправами до розгляду випадків письмового ділення багатоцифрових чисел на одноцифрове вважають:

1) розв'язування прикладів на ділення однозначного числа на однозначне з остачею;

2) двозначного на однозначне з остачею, причому кількість прикладів, що їх потрібно виконати залежить від індивідуальних особливостей дітей. У кожному з названих випадків учні повинні говорити не остача не ділиться на дільник, а остача менша ніж дільник.

3) ґрунтовне повторення нумерації багатоцифрових чисел (класи та розряди);

4) розв'язування прикладів на округлення числа до бажаного розряду, але для округлення до десятків краще брати двозначні числа. Для того, щоб краще усвідомити сутність підготовки учнів до засвоєння алгоритму, пропонуємо майбутнім вчителям виконати завдання № 38 для самостійної роботи.

Як ознайомити учнів з письмовим прийомом ділення на одноцифрове число? – враховуючи індивідуальні особливості учнів, рівень їхньої математичної підготовки, зробити це можна по-різному. Якщо рівень математичної підготовки класу високий, то можна запропонувати учням спробувати самостійно за підручником розібратися у сутності алгоритму. Якщо школярі не в змозі цього зробити, то можна використати бесіду за вправою підручника. Якщо і такий варіант не підходить, то у відповідності з індивідуальними особливостями вчитель може використати пояснення із запитаннями. Оскільки на момент введення алгоритму діти вже вміють виконувати усно ділення трицифрових чисел на одноцифрове число, то вчитель повинен спочатку переконати учнів у необхідності ознайомлення з новим прийомом обчислень. Як же це зробити? – для цього слід вибрати такий приклад на усне ділення, який важко виконувати усно, наприклад 372:3. Методика його розгляду аналогічна до того, як ми це робили при введенні письмового прийому множення. Саме тому пропонуємо студентам виконати завдання № 39 для самостійної роботи.

Враховуючи той факт, що підручники з методики навчання математики, як правило, висвітлюють процес ознайомлення учнів з письмовим прийомом ділення на одноцифрове число недостатньо повно і без дотримання принципу перспективності, то розглянемо ознайомлення дітей з цим прийомом. Після того, як діти розв'яжуть приклад виду 966:3, запитуємо їх: чи зручно так виконувати ділення? – залежно від того, яку відповідь дадуть учні, вчитель має принаймні два варіанти: 1) при позитивній відповіді слід вказати, що сьогодні розглянемо ще один спосіб ділення, а потім зробимо висновок про зручність обох способів; 2) при негативній відповіді необхідно сказати, що у математиці є інший спосіб ділення, який називають письмовим прийомом ділення або діленням під кутом. Після цього приступаємо до пояснення. Спочатку запитуємо учнів: - як ми розкладали ділене при усному діленні? - на зручні доданки. Що ми робили потім? – спочатку ділили перший доданок 6 сот. на 3, потім - другий доданок 6 дес. на 3 і нарешті - третій доданок 6 од. на 3. Будемо при діленні називати перший доданок першим неповним діленим, другий – другим неповним діленим, третій – третім неповним діленим.

Після цього показуємо дітям записування прикладу на ділення під кутом. Досвід вчителів свідчить, що при цьому корисно використати наступну таблицю (див. таблицю № 8.50.), у першому стовпчику якої представлене усне розв'язування, у другому – письмове, а у третьому – система запитань до учнів. Оскільки основне призначення цієї вправи полягає в тому, щоб показати дітям порядок запису алгоритму, то корисно після її виконання запропонувати учням відповісти на наступні запитання: де записуємо ділене? – ліворуч. Де записуємо дільник? – праворуч від діленого всередині кута. Де записуємо частку? – під кутом. На жаль, сформульоване у підручнику правило письмового ділення учні не розуміють без додаткових пояснень, а оскільки школярі практично ним не користуються у подальшому, то навряд чи є потреба не тільки заучувати його напам’ять, але й ознайомлювати з ним дітей.

Таблиця № 8.50.

966:3=(9сот.+6дес.+6):3= 9сот.:3+6дес.:3+6:3= 3сот.+2 дес.+2 од.=322

966∟3 -9 322 6 -6 6 -6 0

Чому дорівнює перше неповне ділене? – 9 сот. Ділимо 9сот. на 3, буде 3 сот. Записуємо на першому місці зліва. Чому дорівнює друге неповне ділене? – 6 дес. Ділимо 6 дес. на 3, буде 2 дес. Цифру 2 записуємо у частці на другому місці зліва. Чому дорівнює третє неповне ділене? – 6 од. Ділимо 6 на 3, буде 3. Записуємо на третьому місці зліва. Отже, частка дорівнює 322.

Враховуючи, що представлене у підручнику пояснення алгоритму письмового ділення неповне, то ознайомлення учнів з ним пропонуємо провести для прикладу 864:4 так: скільки цифр містить дільник? – одну. Скільки цифр тоді може містити перше неповне ділене? – оскільки діти ще незнайомі з іншими випадками, то вони дадуть відповідь, що одну. Вчитель повинен пояснити їм, що, коли дільник містить одну цифру, то перше неповне ділене може містити одну або дві цифри, причому спочатку утворюють перше неповне ділене, яке складається із стількох цифр, скільки їх є у дільнику. Отже, у нашому випадку утворимо перше неповне ділене з однієї цифри. Пропонуємо учням прочитати перше неповне ділене: 8 сотень. Скільки буде, якщо 8 сот. поділити на 4? – 2 сот. Який розряд означатиме перша цифра частки? – розряд сотень. Скільки цифр буде у частці? – три. Щоб не пропускати цифр у частці, поставимо у частці три крапки, а потім над кожною з них запишемо відповідну цифру. Як визначити, чи всі сотні ми поділили? – слід 2 сот. помножити на 4, а оскільки буде 8 сот, то, щоб визначити, чи всі сотні поділили, треба від першого неповного діленого 8 сот. відняти одержане при множенні число, тобто 8 сот. Отже, остача дорівнює нулю, а тому всі сотні поділено. Із скількох цифр утворимо друге неповне ділене? – з однієї, це буде 6 десятків. Чи можна поділити 6 дес. на 4 так, щоб у частці отримати десятки? – так. Скільки буде, якщо 6 дес. поділити на 4? – 1 дес. Яку цифру запишемо над другою крапкою? – 1. Як визначити, чи всі десятки поділили? – потрібно 1 дес. помножити на 4, а одержаний добуток відняти від другого неповного діленого? Отже, ми поділили не всі десятки, бо 6 дес.–1 дес.●4=2 дес. Чи всі десятки ми поділили? – ні, у нас залишилося ще два десятки в остачі. Скільки одиниць у 2 десятках? – 20. Чи є ще у нас одиниці? – так, 4 од. Скільки всього є у нас одиниць? – 24. Чому ж тоді дорівнюватиме третє неповне ділене? – 24. Скільки буде, якщо 24 поділити на 4? – 6. Яку цифру запишемо над третьою крапкою? – 6. Чи закінчили ми ділення? – так, бо ми поділили всі одиниці. Чому дорівнює частка? - 216. Поступово на очах у дітей на дошці з’являться записи, які представлені у таблиці № 8.51.

Після цього розпочинається робота з формування в учнів умінь виконувати алгоритм письмового ділення, причому спочатку діти використовують детальні пояснення, які поступово можуть скорочуватися у відповідності з індивідуальними особливостями засвоєння прийому. Порядок розгляду випадків письмового ділення наступний:

1) випадки ділення трицифрового числа на одноцифрове, коли всі неповні ділені одноцифрові, наприклад 966:3;

2) випадки ділення трицифрового числа на одноцифрове, коли одне з неповних ділених двоцифрове, але у частці отримуємо трицифрове число, наприклад 651:3;

3) випадки ділення трицифрового числа на одноцифрове, коли всі неповні ділені двоцифрові, але у частці отримуємо двоцифрове число, наприклад 736:8;

4) випадки ділення трицифрового числа на одноцифрове, коли є одноцифрові та двоцифрові неповні ділені, але частка трицифрове число, наприклад 875:5;

5) випадки ділення трицифрового числа на одноцифрове, коли ділене містить нулі, наприклад 370:2, 804:3.

Таблиця № 8.51.

864∟4 -8 2 . . .

864∟4 -8 2 1 6 . . . -4 2

864∟4 -8 2 16 6 . . . -4 24 -24 0

864∟4 -8 2 16 6 -4 24 -24 0

Покажемо детальне пояснення для випадку ділення виду 875:5. При розгляді цього випадку роботу можна провести так: скільки цифр містить дільник? – одну. Скільки тоді цифр може містити перше неповне ділене? – одну або дві. Із скількох цифр утворимо перше неповне ділене? – з однієї. Прочитайте його! – 8 сотень. Яким буде найвищий розряд частки? – розрядом сотень. Скільки цифр буде містити частка? – три, а тому поставимо у частці три крапки. Якою буде перша цифра частки? – 1, бо 8 сот:5 буде 1 сот. і 3 сот. в остачі. Скільки десятків у 3 сотнях? – 30. А скільки десятків ще є у числі 875? – ще 7 дес. Чому ж дорівнюватиме друге неповне ділене? – 37 десятків. Як знайти другу цифру частки? – 37 дес.:5. Чому дорівнює друга цифра частки? – 7. Скільки десятків ми ще не поділили? – 37 дес.-7 дес.●5=2 дес. Скільки одиниць у 2 дес.? – 20. Чому дорівнює третє неповне ділене? – 25. Якою буде третя цифра частки? – 5. Чому дорівнює частка від ділення 875 на 5? - 175. Як перевірити, чи правильно ми знайшли частку? – слід частку 175 помножити на дільник 5.

Скорочені пояснення при розгляді випадку 276:4 можуть бути приблизно такими: оскільки дільник одноцифрове число, то перше неповне ділене може складатися з однієї чи двох цифр. Утворимо перше неповне ділене з однієї цифри. Це буде 2 сотні, але 2 сот. не можна поділити на 4 так, щоб у частці одержати сотні. Утворюємо перше неповне ділене з двох цифр. Це буде 27 десятків. Найвищим розрядом частки буде розряд десятків, а тому частка міститиме дві цифри. Поставимо у частці дві крапки. Знайдемо першу цифру частки, поділивши 27 дес. на 4, буде 6 і в остачі 3 десятка. Друге неповне ділене буде 36 одиниць, а тому другу цифру частки знайдемо, поділивши 36 на 4, буде 9. Отже, 276:4=69. Чи правильно ми знайшли частку? – помножимо частку 69 на дільник 4. Зазначимо, що скорочення пояснень слід проводити поступово у відповідності з індивідуальними особливостями сприймання і засвоєння алгоритму. Основна робота з формування прийому письмового алгоритму ділення на одноцифрове число відбуватиметься у наступному концентрі, що є одним з недоліків програми і підручника, адже за літо діти ґрунтовно забудуть алгоритм.

8.17. Теоретико-методичні основи вивчення усних прийомів множення та ділення у концентрі “Багатоцифрові числа”.

8.17. Які ж завдання вивчення множення і ділення у цьому концентрі? – сформувати у учнів основні усні та письмові прийоми множення і ділення багатоцифрових чисел; навчити пояснювати виконувані дії; розширити, поглибити та систематизувати знання учнів про дії множення і ділення, про взаємозв’язок між результати і компонентами дій, про зміну добутку та частки при зміні одного з компонентів; сформувати відповідні обчислювальні уміння і навички. Зважаючи на такі завдання, цілком обґрунтованою є підготовча робота до введення письмових прийомів множення і ділення. Її сутність полягає в тому, щоб повторити конкретний зміст дії множення і ділення, закони, яким підкоряється операція множення, особливі випадки множення і ділення, ділення з остачею, усні випадки множення і ділення тощо.

Які ж завдання розгляду усних прийомів обчислень у концентрі “Багатоцифрові числа”? – повторення та систематизація умінь і навичок учнів про усні прийоми обчислень, підготовка до закріплення алгоритмів письмового множення і ділення. Які ж випадки усного множення і ділення розглядаються у цьому концентрі? – 1) випадки множення і ділення на 10, 100, 1000, наприклад 21000, 3200010, 4000:10, 4000:100, 4000:1000; 2) випадки множення і ділення розрядних чисел на одноцифрове число, наприклад 20004, 6000:3, 120003, 84000:2. Якщо у першому випадку відповідні дії виконуються на основі правил множення чи ділення на 10, 100, 1000, то у другому вони зводяться до множення чи ділення іменованих чисел на одноцифрове число. Оскільки ТМО ознайомлення учнів з випадками усного множення чи ділення виду 21000, 3200010, 4000:10, 4000:100, 4000:1000 аналогічні до відповідних випадків у концентрі “Тисяча”, то пропонуємо студентам виконати завдання № 42 для самостійної роботи. Разом з тим, аналіз системи вправ підручника з математики для 4 класу М.Богдановича свідчить, що у ній невиправдано мало є усних вправ на множення і ділення.

З метою подолання вказаного недоліку та для здійснення принципу особистісної зорієнтованості процесу навчання у відповідності з індивідуальними особливостями школярів, як свідчать вивчення досвіду роботи вчителів, аналіз методичної літератури та проведені нами дослідження, слід використовувати вправи. Доцільність їх використання обумовлюється тим, що деякі учні допускають помилки при обчисленнях тому, що не засвоїли окремих операцій, які входять до прийому обчислень, або не засвоїли їхньої послідовності. Система цих вправ може містити принаймні такі:

1) скільки тисяч міститься у числах 4000, 40000, 400000? Запиши їх у вигляді добутків, одним з множників якого є число 1000;

2) дано числа 8750, 9741, 9000, 8300, 5724, 51320. Випиши числа, які без остачі діляться на 10, 100 і 1000, та запиши з ними можливі приклади на ділення на 10, 100 і 1000;

3) серед чисел 8000, 82710, 2700, 2707, 45730, 95002, 375000 назви числа, які можна записати у вигляді добутку, де одним з множників будуть числа 10, 100, або 1000;

4) склади з кожного приклада на ділення 3800:100=38, 70000:1000=70, 5400:10=540 приклад на множення;

5) для того, щоб перевірити наскільки свідомо діти засвоїли прийоми множення і ділення на 10, 100, 1000, корисно запропонувати їм завдання, які вимагають застосування засвоєних знань у дещо змінених умовах: а) порівняй вирази 7000+700+70+7 і 71000+7100+710+7, 81000+800+710 і 8000+8100+70+4, 910000+81000+5100+310+3 і 90000+8000+500+30+3; б) розв’яжи рівняння: х1000+200=3200, 5100+х4=540, 8000+х100+50=8750; в) запиши можливі приклади на множення і ділення, використовуючи наступні числа: 1, 10, 20, 100, 1000; г) склади можливі рівняння, використовуючи числа 2, 10, 20, 100, х та розв’яжи їх.

Учні, які усвідомили усні прийоми обчислень у концентрі “Тисяча”, цілком здатні перенести наявні знання, уміння й навички у нові умови. Саме тому для таких школярів корисніше використовувати узагальнююче повторення, під час якого слід розв’язувати вправи з комплексного використання раніше набутих знань, вмінь і навичок. Особливо важливо, щоб на таких уроках широко використовувалися стимули, які викликають пізнавальний інтерес учнів до пройденого матеріалу. До них можна віднести новизну змісту, цікавість і емоційність матеріалу, наочні посібники, різні форми опитування, дидактичні матеріали, прийоми порівняння, зіставлення і протиставлення, дидактичні ігри.