Малюнок № 1.

3. вітчизняний методист-математик К.Лебедінцев [Л-7,39-40] сформулював положення про розвиток поняття числа у дітей, серед яких ми вкажемо на такі:

• перші числові уявлення (1-5) виникають у дітей під впливом безпосереднього споглядання груп однорідних предметів за допомогою зору і дотику;

• діти можуть мати уявлення про числа від 1 до 5, не вміючи вести лічбу;

• лічба систематизує числові уявлення, які є у дітей;

• подальший розвиток уявлень про числа відбувається на основі лічби.

На нашу думку, позитивними результатами досліджень К.Лебедінцева є висновок про необхідність використовувати при формуванні поняття числа у дітей як споглядання груп предметів, так і їх лічбу.

4. видатний психолог ХХ століття Н.Менчинська [М-18] вирішального значення при формуванні у дітей поняття числа надавала встановленню зв’язку між безпосереднім сприйманням множин предметів і відповідним словом - назвою числа, яке дитина чує від дорослих. Саме тому вона стверджувала, що числові уявлення формуються на основі об’єднання двох задач: задачі сприймання і задачі лічби;

5. значний внесок у розробку методики формування поняття натурального числа вніс видатний український психолог Г.Костюк, який експериментально досліджував проблеми походження поняття числа у дітей. Одержані ним результати він виклав у своїй роботі "Про генезис поняття числа у дітей" [К-9]. Г.Костюк основною операцією, за допомогою якої виникає поняття числа, вважав встановлення взаємно однозначної відповідності між елементами двох множин, що об’єднуються. Головним висновком проведених ним досліджень, на наш погляд, є, по-перше, думка про хибність спроб знайти джерело поняття числа в тому чи іншому, окремо взятому аспекті пізнання дітьми оточуючих їх предметів: в спогляданні їх груп чи в перебиранні їх предметів, в сумультанності чи сукцесивності вражень, в розрізненні предметів чи їх ототожнюванні тощо; по-друге, думка про те, що діти приходять до усвідомлення кількості в процесі скерованого дорослими дійового пізнання множин предметів: лічба елементів множини предметів, встановлення взаємно однозначної відповідності між порівнюваними множинами тощо [К-9,30-31].

Для методики формування поняття натурального числа і нуля у дітей проведене Г.Костюком дослідження вказує на необхідність використання різноманітних вправ з множинами, причому в кожну із множин можуть входити як однакові, так і різні елементи. За допомогою таких вправ відбувається абстрагування кількісної сторони множин предметів від інших їхніх властивостей – просторового розміщення, матеріалу виготовлення, форми, кольору тощо. Істотними для формування поняття числа виявляються також вправи на визначення чисельності множини і порядку розміщення елементів у множині.

Слід відзначити, що в нині діючій програмі з математики для початкових класів за основу формування поняття числа вибрано кількісну або теоретико-множинну теорію натуральних чисел, але використовуються і дві інші. Отже, формування поняття натурального числа та нуля відбувається і за допомогою операцій над множинами (встановлення взаємно однозначної відповідності між множинами, об’єднання множин, вилучення частини множини), і за допомогою операції вимірювання величин (визначення довжини відрізка, площі фігури, маси тіла тощо), і за допомогою встановлення відношення порядку (який за порядком, перед, після тощо). Для того, щоб дати кількісну характеристику множини, слід знайти порядок розміщення чисел в натуральному ряді. Практика роботи школи переконливо довела, що у формуванні числових уявлень приймають участь всі вищеназвані операції: лічба, споглядання у просторі і часі, встановлення взаємно однозначної відповідності. Більше того, відповідно до індивідуальних особливостей дітей для правильного формування поняття числа різні операції відіграють різну роль.

Що ж таке натуральний ряд чисел? Як відомо, натуральні числа розміщуються у певному порядку, причому виконуються такі умови: один є натуральним числом, яке не слідує ні за яким натуральним числом; за будь-яким натуральним числом безпосередньо слідує лише одне натуральне число, яке є сумою попереднього числа і одиниці; будь-якому відмінному від одиниці натуральному числу безпосередньо передує лише одне натуральне число, яке є різницею даного числа і одиниці. Так розміщені натуральні числа називають натуральним рядом чисел. Частина натурального ряду чисел, починаючи від одиниці до даного числа, називається початковим відрізком натурального ряду.

У курсі математики початкової школи діти поступово знайомляться з такими відрізками натурального ряду чисел: від 1 до 10; від 10 до 20; від 21 до 40; від 41 до 80; від 81 до 100; від 100 до 1000 і від 1001 до 1000000. Під відрізком натурального ряду чисел розуміють будь-яку підмножину натурального ряду чисел, для якої виконуються умови 1 і 2, причому умова 1 може замінюватися на таку: N є натуральне число, яке не слідує ні за яким натуральним числом цього відрізку натурального ряду.

На основі вказаних властивостей натурального ряду чисел можна дати тлумачення поняття лічби, як процесу встановлення взаємно однозначної відповідності між елементами заданої скінченної множини та числами, які є елементами початкового відрізку натурального ряду, при якому кожне назване число характеризує розглянуту підмножину елементів заданої множини, а останнє з названих чисел характеризує всю задану множину.

Особливістю початкового курсу математики є те, що при формуванні поняття числа діти спочатку знайомляться з 0 як із значком, тобто цифрою, яку використовують для позначення числа 10, і лише після ознайомлення дітей із дією віднімання 0 з'являється як число, яке є результатом дії віднімання у випадках виду 5–5=0.

У курсі математики початкових класів з метою узагальнення числових уявлень діти спочатку неявно, а в кінці 4-го класу і явно, знайомляться з десятковою позиційною системою числення та її особливостями (Спробуйте пригадати, яка система числення називається позиційною і чому?). Як показує вивчення методичної літератури та досвіду роботи вчителів початкових класів, досить часто поняття "нумерація" ототожнюється з "системою числення". Це в корні хибна позиція. У багатьох народів система числення, як і у нас, десяткова, але нумерація (назви чисел) різна. Нумерація залежить від системи числення, але ці поняття не тотожні. Система числення може бути двійковою, трійковою, десятковою тощо, а нумерація - усною і письмовою, позиційною і непозиційною, римською, старослов’янською, індійською та ін. У кожній системі числення числа записують за допомогою певних знаків - цифр. У позиційних системах числення значення кожної цифри залежить від того, на якому місці вона стоїть в записі числа.

Розглянемо особливості десяткової позиційної системи числення. У цій системі для запису будь-якого числа використовують всього десять знаків (цифр) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Всяка скінченна послідовність цифр, яка не розпочинається з нуля, становить деяке число, причому кожна цифра у цьому записі означає відповідну кількість так званих розрядних одиниць. Так, наприклад, запис а=74362 означає число, яке складається з двох одиниць (двох одиниць першого розряду), 6 десятків (6 одиниць другого розряду), 3 сотень (3 одиниць третього розряду), 4 тисяч (4 одиниць четвертого розряду) і 7 десятків тисяч (7 одиниць п’ятого розряду). Це можна записати і так: 74362=7●10000+4●1000+3●100+6●10+2 або так: 74362=7●10⁴+4●10³+3●10²+6●10¹+2●10⁰. В останньому записі особливу роль відіграє число 10, яке називають основою системи числення, а систему числення називають десятковою.

Наступною особливістю десяткової позиційної системи числення є та, що кожні десять одиниць нижчого розряду складають одну одиницю наступного розряду. Так, десять одиниць першого розряду складають одну одиницю другого розряду - десяток, десять одиниць другого розряду – сотню тощо. Кожні три послідовні розряди, починаючи з першого, утворюють клас. Три розряди, що утворюють клас, називаються в кожному класі однаково: одиницями, десятками і сотнями, але при цьому вказується назва класу. Наприклад, одиниці тисяч, десятки мільйонів, сотні мільярдів тощо.

Назви всіх чисел у десятковій позиційній системі числення утворюються з невеликої кількості основних назв: один, два, три, чотири, п’ять, шість, сім, вісім, дев’ять, десять, сорок, дев’яносто, сто, тисяча, мільйон, мільярд, трильйон, квінтильйон, секстильйон, септильйон, октильйон тощо. В основі запису чисел у цій системі числення лежить принцип позиційного (помісцевого) значення цифр, який полягає в тому, що значення цифри залежить не тільки від її вигляду, а й від місця (позиції), яке вона займає в зображенні запису цього числа. Наприклад, у числі 4444 перша справа четвірка виражає число "чотири", друга справа - "сорок" (чотири десятки), третя справа - "чотириста" (чотири сотні), четверта справа - "чотири тисячі".

Десяткова позиційна система числення дозволяє сформулювати загальні правила читання та запису чисел. Щоб прочитати число, його слід поділити, починаючи з нижчих розрядів, на класи по три цифри в кожному (в останньому зліва може виявитися і менше, ніж три цифри), а потім читати число, називаючи послідовно кожну його цифру із старшого розряду, вказуючи назву кожного класу. Щоб записати цифрами число, потрібно виділити у ньому класи (мільярдів, мільйонів, тисяч, одиниць) і виписувати послідовно числа кожного класу, починаючи з найвищого. При цьому слід пам’ятати, що у кожному класі, можливо крім найвищого, повинно бути три цифри, а тому відсутні цифри замінюємо нулями, а якщо відсутній цілий клас, то на його місці ставимо три нулі. Наприклад, число двадцять мільярдів двадцять чотири мільйона вісімдесят сім зображається так: 20024000087. Багатоцифрові числа пишуться та друкуються з невеликими проміжками (інтервалами) між класами, що полегшує читання чисел. І нарешті, у десятковій позиційній системі числення арифметичні операції над числами виконуються за відомими правилами "додавання", "віднімання" і "множення" чисел у "стовпчик" та "ділення" під "кутом".