2. Тмо різних методичних підходів до формування поняття натурального числа і нуля. Натуральний ряд чисел та особливості десяткової позиційної системи числення.

2. У пояснювальній записці до програми з математики вказано, що основою початкового курсу математики є арифметика цілих невід'ємних чисел. Це означає, що основним завданням початкового курсу математики є формування у дітей поняття про цілі невід'ємні числа та дії над ними. Першою темою із арифметичної частини програми є тема "Нумерація", яка розглядається в кожному із концентрів: "Десяток", "Сотня", "Тисяча" і "Багатоцифрові числа". Слово нумерація походить від латинського numeratio або numero, дослівний переклад яких "лічу" або "лічити". Будемо на боці тих науковців і методистів (М.Бантова, М.Богданович, М.Моро, А.Пишкало та ін.), які під нумерацією розуміють способи називання, читання та записування чисел. Розрізняють усну і письмову нумерацію. Незалежно від концентру при вивченні нумерації чисел діти ознайомлюються з операціями лічби і вимірювання, читанням і написанням чисел, співвідношенням між числом і цифрою, з різними способами одержання чисел (додаванням 1 до даного числа, відніманням 1 від даного числа, як суми двох доданків), з послідовністю цілих невід'ємних чисел від 0 чи 1 до найбільшого числа у цьому концентрі, з принципом побудови натурального ряду чисел, з властивостями множини натуральних чисел, з десятковим складом чисел, з кількісним і порядковим значенням чисел.

Які теорії цілих невід’ємних чисел Ви знаєте? Із курсу математики відомо, що існує принаймні три теорії цілих невід'ємних чисел: 1) кількісна або теоретико-множинна, в якій число трактується як спільна властивість класу скінченних еквівалентних множин; 2) порядкова або аксіоматична, в якій натуральне число визначається з допомогою системи аксіом та операції “слідувати за..."; 3) теорія, яка розглядає натуральне число як результат вимірювання величини. Аналіз цих теорій свідчить, що основними поняттями у кожній з них є “число”, “величина”, “відношення”, “множина”. Залежно від порядку їх слідування можна побудувати різні курси математики у початкових класах.

Відповідно до цих теорій існують різні теоретико-методичні підходи до формування поняття натурального числа і нуля. Залежно від того, яка з теорій покладена в основу, будуються підручники і розробляється методика формування поняття натурального числа і нуля у молодших школярів на уроках математики. Формування у дітей цих понять є одним із найважливіших завдань початкового курсу математики. Цей процес відбувається дуже поступово протягом всього вивчення математики в середній школі, а інколи навіть і протягом всього життя. Для правильного проведення такої роботи істотне значення має з'ясування питання про те, як виникає та розвивається поняття числа у дітей. Залежно до розуміння суті цього процесу по-різному розв'язуються проблеми методики навчання математики у початкових класах. Розглянемо деякі з таких підходів.

У нині діючих підручниках М.Богдановича вибрано такий порядок слідування вказаних понять: число, величина, відношення, множина (див. схему 1.). Отже, в основу реалізованого у підручниках М.Богдановича курсу математики покладено теоретико-множинний або кількісний підхід, а поняття числа формується в результаті розгляду скінченних предметних множин і операцій над ними. Це означає, що явно розглядаються поняття “число” і “величина”, а “відношення” і “множина” - неявно. Два останніх терміни навіть не вводяться. Разом з тим, при такому підході формування поняття числа було б неповним, якби не використовувалися дві інші теорії (Які саме?). Саме тому діти знайомляться з порядковим значенням числа і одержують числа в результаті вимірювання величин.

У програмі розробленій під керівництвом П.Гальперіна, введенню числа передує пропедевтика, яка передбачає поряд з відпрацюванням поняття міри проведення роботи з формування таких основних понять як "взаємно однозначна відповідність", "дорівнює", "більше", "менше". Формування поняття числа розпочинається з формування міри: введення міри з ретельною якісною і кількісною її диференціацією, виділення за допомогою міри окремих параметрів об’єктів, перетворення конкретних значень величини в множину, взаємно однозначна відповідність цих множин, їх порівняння і, нарешті, введення одиниці, а потім решти чисел та дій над ними [С-11,6].

Ч исло

В еличина

В ідношення

Множина

Схема № 1. “Порядок слідування основних понять курсу математики І-ІУ класів”.

Схожий підхід реалізує у своїх дослідженнях знаний психолог В.Давидов. Він вважає, що, приступаючи до викладання математики, потрібно розкрити дітям ту властивість об’єктів, яка є їх кількісною характеристикою. Дією, за допомогою якої виявляється ця властивість, є порівняння об’єктів за такими параметрами як довжина, площа, об’єм, проміжок часу, маса тощо, тобто порівняння величин. Саме ця дія розкриває суть відношень "дорівнює", "менше", "більше" [Д-26,35]. Виходячи з таких положень, було побудовано експериментальне навчання математики молодших школярів. В основу формування поняття числа було покладено теорію натурального числа як результат вимірювання величини.

Програма з математики, яка використовується у теорії розвивального навчання В.Давидова, розглядає інший порядок слідування вказаних вище основних понять, а саме: величина, відношення, число, множина. Отже, в основу так побудованого початкового курсу математики покладено теорію натуральних чисел як результат вимірювання величини. Саме тому, діти спочатку розглядають величини, вчаться порівнювати однорідні величини, розглядають відношення “дорівнює”, “менше”, “більше”, а лише пізніше з'являється поняття ”число”. Разом з тим, і цей курс математики також не може обходиться без двох інших теорій (Яких саме?). Існує курс математики, в якому порядок слідування основних понять такий: множина, відношення, число, величина. В ньому явно розглядаються множини, операції над ними та відношення між множинами. Історія розвитку школи свідчить про те, що психологи, методисти, вчителі практики завжди цікавилися проблемою формування поняття числа у дітей.

Протягом історії розвитку методичної науки різні методисти віддавали перевагу тому чи іншому способові формування поняття числа. Серед цих способів виділимо такі:

1. німецькі методисти кінця ХІХ століття вважали, що число доступне нам завдяки лічбі. Підставою для такого висновку стали спостереження за процесом формування поняття числа у дітей віком від 1-2 років до 10 років. Саме тому основною операцією, з допомогою якої формувалося поняття число, вважалася лічба. Виходячи з цього, вони пропонували використовувати для формування поняття числа в курсі математики лише операцію лічби, заперечуючи проти наочності (Чому, на Вашу думку, такий підхід не зовсім правильний для молодших школярів?!);

2. видатний німецький методист В.А.Лай [Л-6,189-199] і його послідовники на основі своїх спостережень стверджували, що числові уявлення у дітей виникають і розвиваються самостійно при спогляданні предметів, суміжних у просторі або послідовних у часі. Саме тому основною операцію при формуванні числових уявлень у курсі математики вони вважали споглядання предметів у просторі та часі. Прихильники цих поглядів розробляли наочні посібники, які повинні були забезпечити дітям споглядання груп предметів. Серед цих посібників вкажемо на так звані "числові фігури" для засвоєння чисел від 1 до 6 (див. мал. № 1.). Позитивним у такому підході слід визнати значну увагу до розробки засобів наочності для формування у дітей поняття числа (Чому?).

*

**

***

****

*****

******