§3. Существование первообразной у любой непрерывной функции.
В данном параграфе
мы будем рассматривать интеграл вида
,
где подынтегральная функция
определена и интегрируема на некотором
сегменте
,
а
- произвольная точка сегмента
,
т.е. 
.
В указанных предположениях мы можем
рассмотреть функцию
определённую в каждой точке сегмента .
Справедлива следующая теорема 3.1. Пусть функция непрерывна на сегменте , тогда функция , определённая равенством (1) дифференцируема в каждой точке сегмента , при этом
Доказательство. По определению производной функции
Согласно формуле среднего значения
где
Учитывая равенство (4) в равенстве (3), получим
Пользуясь
непрерывностью функции
в точке
и тем, что 
,
из равенства (6) получим
.
Теорема 1.1 доказана.
Замечание.
В теореме 1.1 мы доказали, что 
является одной из первообразных
непрерывной на сегменте
функции
.
Тогда любая первообразная функции
будет иметь вид 
.
§4. Основная формула интегрального исчисления.
1. Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть функция
непрерывна на сегменте
,
тогда для любой точки 
,
функция
является одной из
первообразных функции
.
В частности, взяв в качестве точки
точку
,
получим, что и функция 
является первообразной функции
.
Теорема 4.1. Пусть функция непрерывна на сегменте и - любая первообразная функции на этом сегменте, тогда
Доказательство.
Т.к.
является одной из первообразных функции
на сегменте
,
a
– любая первообразная функции
на этом же сегменте, то по теореме 1.1 §1
главы 8, функция
имеет вид 
,
где
- некоторая постоянная. Пользуясь
равенством (2), вычислим 
.
Тем самым справедливость формулы (1) доказана.
Формула (1) называется формулой Ньютона-Лейбница. Пользуясь обозначением
формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
2. Замена переменной в определённом интеграле.
Теорема 4.2.
Пусть функция
непрерывна на сегменте
,
а функция
дифференцируема на сегменте
,
причём производная
непрерывна в каждой точке сегмента
.
Пусть множеством значений функции 
является сегмент
и при этом 
,
тогда справедлива следующая формула
Доказательство. Пусть – какая-нибудь первообразная функции на сегменте , тогда по формуле Ньютона-Лейбница
Рассмотрим функцию
,
определённую на сегменте
.
Согласно правилу дифференцирования
сложной функции, её производная равна
Следовательно
функция 
является первообразной для непрерывной
на сегменте
функции 
,
поэтому согласно формуле Ньютона-Лейбница
Согласно формуле
(5), правая часть последнего равенства
равна 
. Следовательно справедливость формулы
(4) и теоремы 4.2 доказана.
3. Формула интегрирования по частям в определённом интеграле.
Теорема 4.3.
Пусть функции
и 
имеют непрерывные производные на отрезке
,
тогда справедлива следующая формула
Учитывая
справедливость равенств 
формулу (6) можно записать в более
компактной форме
Доказательство.
Так как функция
является первообразной для функции 
,
то, согласно формуле Ньютона-Лейбница
Из равенства (8) найдём
Теорема 4.3 доказана.