3. Формула Лейбница для -й производной произведения двух функций.
Пусть функции
и
раз дифференцируемы в точке
,
тогда функция 
раз дифференцируема в точке
и справедлива следующая формула
Это правило носит название формулы Лейбница.
Как видим, формула
(1) совпадает с формулой разложения
бинома 
,
лишь вместо степеней
и
стоят производные соответствующих
порядков. Полагая, что производная
нулевого порядка функции равна самой
функции, т.е. 
,
формулу (1) можно записать в компактной
форме
Формула (1) легко
доказывается с помощью математической
индукции. Доказательство приводить не
будем. Доказать формулу (1) для 
самостоятельно.
4. Дифференциалы высших порядков.
В данном разделе мы будем использовать для обозначения дифференциала наряду с символом также символ .
Как уже известно, для первого дифференциала дифференцируемой в данной точке функции справедливо равенство
Предположим, что правая часть равенства (3) является функцией аргумента , дифференцируемой в данной точке .
Для этого достаточно потребовать, чтобы функция была два раза дифференцируемой в данной точке , а аргумент являлся либо независимой переменной, либо дважды дифференцируемой функцией некоторой переменной . При этих предположениях мы можем рассмотреть дифференциал
от обеих частей равенства (3).
Определение
5.1. Значение
дифференциала от первого дифференциала
(3) взятое при 
,
называется вторым дифференциалом
функции
(в данной точке
)
и обозначается символом 
.
Итак по определению
.
Предположим, что
уже введён дифференциал 
порядка 
и что функция
является
раз дифференцируемой в данной точке
,
а её аргумент
является либо независимой переменной,
либо
раз дифференцируемой функцией некоторой
независимой переменной
.
Определение
5.2. Значение
дифференциала
-го
порядка
,
взятое при
,
называется дифференциалом -го порядка
функции
в данной точке
и обозначается символом 
.
Итак, по определению
.
При вычислении второго и последующих дифференциалов следует существенно различать два случая: 1) когда аргумент является независимой переменной, 2) когда аргумент является соответствующее число раз дифференцируемой функцией некоторой независимой переменной .
В случае, когда
является независимой переменной, мы
имеем право считать, что
не зависит от
и для всех
равен одному и тому же приращению
аргумента
.
При этом мы имеем 
.
Тогда
Итак, в случае,
когда аргумент
является независимой переменной, для
второго дифференциала функции
справедливо представление 
По аналогии устанавливается, что в случае, когда аргумент является независимой переменной, для -го дифференциала раз дифференцируемой функции справедливо представление
Таким образом, для случая, когда аргумент является независимой переменной, производная порядка функции равна отношению -го дифференциала этой функции к -й степени дифференциала аргумента, т.е.
Иной вид имеют представления второго и последующих дифференциалов в случае, когда аргумент является соответствующее число раз дифференцируемой функцией независимой переменной .
Пусть функция два раза дифференцируема в данной точке , а её аргумент является два раза дифференцируемой функцией некоторой независимой переменной . Тогда из свойства инвариантности формы первого дифференциала имеем
Из последнего равенства находим
Т.е 
Сравнивая равенства (5) и (6) мы видим, что в отличии от первого дифференциала, второй дифференциал не обладает свойством инвариантности формы.
Тем более не обладают свойством инвариантности формы последующие дифференциалы.