4. Достаточное условие монотонности функции на интервале.

Теорема 1.5. Для того, чтобы дифференцируемая на интервале функция возрастала (убывала) на этом интервале, достаточно, чтобы производная этой функции была положительной (соответственно отрицательной) в каждой точке интервала .

Доказательство. Достаточность. Пусть (соответственно ) всюду на интервале . Докажем, что функция возрастает (убывает) на интервале . Пусть и – произвольные точки интервала , удовлетворяющие условию . Тогда функция дифференцируема (а стало быть и непрерывна) на сегменте . Поэтому к можно применить теорему Лагранжа, в результате чего получим:

где .

Т.к. и из равенства (7) получим что означает возрастание (убывание) функции . Теорема 1.5 доказана.

Замечание. Подчеркнём, что условие (соответсовенно ) не является необходимым условием возрастания (соответственно убывания) функции на интервале . Так функция возрастает всюду на числовой прямой, в частности на интервале , однако, производная этой функции не является положительной на этом интервале. (Она обращается в нуль в точке ).

5. Формула Коши.

Теорема 1.6. (Теорема Коши). Если функции и непрерывны на сегменте , дифференцируемы в каждой точке интервала , и если кроме того производная отлична от нуля всюду на интервале , то существует точка из интервала , такая, что справедлива формула:

называемая формулой Коши.

Доказательство. Прежде всего убедимся, что . Действительна, если бы , то для функции выполнялись бы все условия теоремы Ролля. Тогда по этой теореме существовала бы точка , такая, что , что противоречит условию теоремы 1.6. Итак . Рассмотрим следующую функцию

Очевидно, что функция непрерывна на сегменте и дифференцируема на интервале . Кроме того

Следовательно выполнены все условия теоремы Ролля, согласно которой найдётся точка , такая что

Вычислим производную . Из равенства (9) имеем

Из равенства (12) и (13) имеем

или

Теорема 1.6 доказана.

Замечание. Формула Лагранжа (4) пункта 3 настоящего параграфа является частным случаем формулы Коши (8) при .

§2. Раскрытие неопределённостей (правило Лопиталя)

1. Первое правило Лопиталя.

Будем говорить, что отношению двух функций представляет собой при неопределённость вида , если

Раскрыть эту неопределённость, значит вычислить предел (при условии, что этот предел существует).

Справедлива следующая теорема

Теорема 2.1. (Первое правило Лопиталя).

Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . Пусть далее и производная отлична от нуля всюду в указанной окрестности точки . Тогда, если существует конечный или бесконечный предел

то существует и предел , причём справедлива формула

Доказательство. Пусть – произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к и состоящая из чисел, отличных от . Будем предполагать, что все члены последовательности принадлежат окрестности точки , в которой определены функции и . Доопределеним функции и в точке , считая их равными нулю в этой точке, т.е. . Тогда при любом функции и будут непрерывны на сегменте , если и на , если , дифференцируемы на интервале и по условию . Таким образом для функций и выполнены все условия теоремы Коши на сегменте . Тогда существует точка , такая, что

Т.к. , то получим

Т.к. и , следует, что последовательность также сходится к числу . . Из равенства (3) находим

Из существования предела следует существование предела в правой части равенства (4), следовательно существует и предел в левой части равенства (4), причём

Т.к. – произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к , то отсюда заключаем, что существует предел .

Замечание 1. Если производные и удовлетворяют тем же условиям, что и сами функции и , то правило Лопиталя можно применить повторно. Т.е.

Замечание 2. Теорема 2.1 остаётся верной и в случае, когда . Действительно, пусть например и существует (конечный или бесконечный). Обозначим через величину . . Тогда при .

Функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , при этом в некоторой окрестности точки . . Тогда к правой части равенства можно применить первое правило Лопиталя, вследствие чего получим

Из последнего равенства и равенства (6) находим