2. Второе правило Лопиталя.

Будем говорить, что отношение двух функций при есть неопределённость типа , если или .

Теорема 2.2. (Второе правило Лопиталя). Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может самой точки . Пусть далее или и всюду в указанной окрестности точки . Тогда если существует предел (конечный или бесконечный), то существует и предел , причём справедлива формула

Теорема 2.2 приводится без доказательства.

3. Другие виды неопределённостей и их раскрытие.

Неопределённость вида можно свести к неопределённостям и . Покажем это на примерах.

Пример 1. .

Пример 2. .

Неопределённости вида , возникают при рассмотрении пределов . Эти неопределённости сводятся к неопределённости с помощью тождества

Пример 3. .

Аналогично раскрываются и неопределённости .

§3. Формула Тейлора

1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Устанавливаемая в этом параграфе формула является одной из основных формул математического анализа и имеет многочисленные приложения, как в самом анализе, так и в смежных дисциплинах.

Теорема 3.1. (Теорема Тейлора). Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки производную порядка . Пусть - любое значение аргумента из указанной окрестности, . Тогда между точками и найдётся точка такая, что справедлива следующая формула:

где

Слагаемое называется остаточным членом формулы Тейлора. Представление остаточного члена в виде равенства (2) называется остаточным членом в форме Лагранжа.

Приведём доказательство теоремы 3.1.

Обозначим через многочлен относительно степени .

Многочлен называется многочленом Тейлора степени для функции .

Обозначим через разность между функцией и многочленом Тейлора, т.е.

Теорема будет доказана, если установить справедливость равенства (2).

Фиксируем любое значение из указанной окрестности точки . Для определённости будем считать, что . Обозначим через новую переменную, изменяющуюся на отрезке и рассмотрим на отрезке вспомогательную функцию

где

Так как функция раз дифференцируема в окрестности точки , функция дифференцируема в каждой точке указанной окрестности. Тогда в этой окрестности дифференцируема и функция .

Так как функция раз дифференцируема в окрестности точки , функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале . Кроме этого:

Таким образом . Следовательно функция удовлетворяет на сегменте всем условиям теоремы Ролля. Согласно теореме Ролля существует точка такая, что

Вычислим производную . Дифференцируя равенство (5) по , имеем

Нетрудно заметить, что все члены в правой части равенства, за исключением последних двух, взаимно уничтожаются. Таким образом,

Полагая в (7) и используя равенство (6), получим

откуда

Теорема доказана.

2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена в форме Пеано.

Введём следующее определение: функция называется бесконечно малой более высокого порядка, чем при , если

Тот факт, что функция является бесконечно малой более высокого порядка, чем при обозначается следующим образом:

Положим в формуле Тейлора (1)

Тогда

где .

При из формулы (8) получается формула Лагранжа

Покажем, что если функция ограничена в окрестности точки , то остаточный член является бесконечно малой более высокого порядка, чем при , т.е.

так как функция ограничена, а бесконечно малая функция при . Таким образом

Формула (6) называется остаточным членом в форме Пеано.