- •Глава 1. Матрицы
- •§1 Понятие матрицы
- •§2. Операции над матрицами
- •§3 Элементарные преобразования матриц
- •§4. Определители
- •§5. Обратная матрица
- •§6. Ранг матрицы.
- •Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •§1. Постановка задачи. Терминология.
- •§2 Системы с квадратной невырожденной матрицей.
- •§3. Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений.
- •§4. Системы с верхней трапециевидной матрицей.
- •§5.Системы общего вида
- •§6. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.
- •Глава 3. Векторная алгебра.
- •§1. Декартовы координаты на прямой.
- •§2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве.
- •§3. Понятие вектора и линейные операции над векторами.
- •§4. Проекция вектора на ось и её свойства.
- •§5. Скалярное произведение двух векторов.
- •Глава 4. Основы аналитической геометрии
- •§1. Простейшие задачи аналитической геометрии.
- •1. Расстояние между двумя точками
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Полярная система координат.
- •§2. Различные виды уравнений прямой на координатной плоскости. Взаимное расположение прямых.
- •1. Параметрические уравнения прямой.
- •2. Каноническое уравнение прямой в плоскости.
- •3. Общее уравнение прямой в плоскости.
- •4. Уравнение прямой в отрезках.
- •5. Неполные уравнения прямой.
- •6. Уравнение прямой, проходящей через заданные две точки.
- •7. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •8. Условия пересечения, коллинеарности и ортогональности двух прямых. Угол между двумя пересекающимися прямыми.
- •9. Пучок прямых, уравнение пучка прямых.
- •10. Нормированное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.
- •§3. Кривые второго порядка.
- •Эллипс. Каноническое уравнение эллипса.
- •2. Гипербола.
- •3. Парабола.
- •4. Линейные преобразования декартовых прямоугольных координат.
- •Глава 5. Элементы математического анализа
- •§1. Множества. Операции над множествами.
- •§2. Вещественные числа и их основные свойства
- •1. Рациональные числа и их основные свойства.
- •2. Вещественные числа и правило их сравнения.
- •3. Множества вещественных чисел, ограниченные сверху или снизу.
- •4. Операция сложения и умножения вещественных чисел.
- •§ 3. Числовые последовательности.
- •1. Понятие последовательности. Арифметические операции над последовательностями.
- •2. Ограниченные, неограниченные, бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
- •3. Сходящиеся последовательности и их свойства.
- •4. Монотонные последовательности.
- •§4. Функция и её предел.
- •Односторонние пределы.
- •4. Предел функции при и при .
- •5. Арифметические операции над функциями, имеющими предел.
- •6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •7. Замечательные пределы.
- •§5. Непрерывные функции.
- •2. Арифметические операции над непрерывными функциями.
- •3. Примеры непрерывных функций.
- •4. Классификация точек разрыва.
- •5. Основные свойства непрерывных функций.
- •6. Понятие сложной функции.
- •7. Понятие обратной функции.
- •Глава 6. Основы дифференциального исчисления.
- •§1. Производная.
- •1. Приращение аргумента и функции. Разностная форма условия непрерывности.
- •2. Определение производной.
- •3. Геометрический смысл производной.
- •4. Физический смысл производной.
- •5. Правая и левая производные.
- •6. Понятие дифференцируемости функции.
- •7. Понятие дифференциала функции.
- •§2. Дифференцирование сложной функции и обратной функции.
- •1. Дифференцируемость сложной функции.
- •2. Дифференцируемость обратной функции.
- •3. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •§3. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функции.
- •§4. Производные простейших элементарных функций.
- •12. Таблица производных простейших элементарных функций.
- •13. Таблица дифференциалов простейших элементарных функций.
- •13. Логарифмическая производная степенно-показательной функции.
- •§5. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •1. Понятие производной -го порядка.
- •3. Формула Лейбница для -й производной произведения двух функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •Глава 7. Теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения
- •§1 Локальный экстремум функции.
- •2. Теорема Ролля.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •4. Достаточное условие монотонности функции на интервале.
- •5. Формула Коши.
- •§2. Раскрытие неопределённостей (правило Лопиталя)
- •1. Первое правило Лопиталя.
- •2. Второе правило Лопиталя.
- •3. Другие виды неопределённостей и их раскрытие.
- •§3. Формула Тейлора
- •1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена в форме Пеано.
- •3. Формула Маклорена.
- •4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •§4. Достаточное условие экстремума.
- •1. Первое достаточное условие экстремума.
- •2. Второе достаточное условие экстремума.
- •3. Экстремум функции, не дифференцируемой в данной точке.
- •§5. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба.
- •1. Направление выпуклости графика функции.
- •2. Точки перегиба графика функции.
- •§6. Асимптоты графика функции.
- •Глава 8. Неопределённый интеграл.
- •§1. Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла.
- •1. Понятие первообразной функции.
- •2. Неопределённый интеграл.
- •3. Основные свойства неопределённого интеграла.
- •4. Таблица основных интегралов.
- •§2. Основные методы интегрирования.
- •1. Интегрирование заменой переменной.
- •2. Метод интегрирования по частям.
- •Глава 9. Определённый интеграл.
- •§1. Понятие определённого интеграла.
- •1. Интегральная сумма и её предел.
- •2. Верхние и нижние суммы.
- •§2. Свойства определённого интеграла.
- •§3. Существование первообразной у любой непрерывной функции.
- •§4. Основная формула интегрального исчисления.
- •1. Формула Ньютона-Лейбница.
- •2. Замена переменной в определённом интеграле.
- •3. Формула интегрирования по частям в определённом интеграле.
- •§5. Несобственные интегралы.
- •1. Несобственный интеграл первого рода.
- •2. Несобственный интеграл II рода.
- •§6. Геометрические и физические приложения определённого интеграла.
- •1. Площадь криволинейной трапеции.
- •2. Площадь криволинейного сектора.
- •3. Длина дуги плоской кривой.
- •5. Площадь поверхности вращения.
- •6. Физические приложения определённого интеграла.
§5. Обратная матрица
Условие обратимости. Матрица называется обратной к матрице , если , где - единичная матрица. Матрица , для которой существует обратная матрица, называется обратимой.
Так как равенство возможно лишь для квадратных матриц одинакового размера, то обратимой может быть лишь квадратная матрица. Однако, не каждая квадратная матрица обратима.
Квадратная матрица называется вырожденной, если , и невырожденной, если .
Теорема 5.1. (Критерий обратимости) Матрица обратима тогда и только тогда, когда она не вырождена.
Доказательство. Пусть обратимая. Тогда существует матрица такая, что . Из этого равенства и теоремы 4.3 следует, что . Следовательно , т.е. матрица не вырождена.
Пусть теперь матрица не вырождена. Рассмотрим вспомогательную матрицу
где – алгебраическое дополнение элемента матрицы . Матрица называется присоединённой или взаимной к матрице . Покажем, что матрица является обратной к матрице . Тем самым будет доказана обратимость матрицы .
Рассмотрим матрицу . В позиции матрицы стоит элемент ,
. Из теоремы 4.4. и определения определителя n-го порядка следую, что при и при . Следовательно
.
Из последнего равенства следует, что .
Совершенно аналогично доказывается, что
, т.е. .
Теорема 5.1 доказана.
Теорема 5.2. (О единственности обратной матрицы) Если - квадратная невырожденная матрица, то существует единственная обратная к ней матрица.
Доказательство. Т.к. матрица невырождена, то в силу теоремы 5.1, она обратима, при этом матрица является обратной к матрице .
Пусть - произвольная матрица, удовлетворяющая равенствам . Единственность обратной матрицы будет доказана, если .
Умножая равенство слева на матрицу , получим
(1)
С другой стороны
= . (2)
Сравнивая равенства (1) и (2) приходим к выводу .
Теорема 5.2 доказана.
В качестве примера найдём обратную к матрице
Как уже известно, обратную матрицу можно найти по формуле
Проверить самостоятельно, что .
Теорема 5.3. (обратимость призведения двух невырожденных матриц) Пусть квадратные невырожденные матрицы порядка . Тогда матрица обратима и при этом
Доказательство. В силу теоремы 4.3 . Т.е. матрица - невырождена. Следовательно, в силу теоремы 5.1 обратима.
Рассмотрим матрицу
Рассмотрим теперь матрицу
Из равенств (3), (4) и определения обратной матрицы следует, что .
Обратная к невырожденной диагональной матрице. Пусть - невырожденная диагональная матрица порядка .
.
Тогда . Из условия невырожденности матрицы следует, что
Легко проверить, что обратной к матрице будет матрица
(Проверить самостоятельно).
Замечание. Из теоремы 4.3 непосредственно вытекает справедливость равенства
(проверить самостоятельно).
§6. Ранг матрицы.
Понятие ранга матрицы. Пусть - произвольная матрица размера , - произвольное натуральное число, удовлетворяющее неравенству . Выберем в матрице произвольные строк и столбцов с номерами и соответственно. Элементы матрицы , стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка, расположенным в строках с номерами и столбцах с номерами .
Для обозначения минора будем пользоваться символом или .
Рангом ненулевой матрицы называется максимальный порядок ненулевых миноров этой матрицы. Ранг нулевой матрицы по определению считается равным нулю.
Ранг матрицы будем обозначать символами
.
Из определения ранга матрицы вытекают следующие факты:
1.Ранг матрицы не превосходит её размеров: есл , то
2.Равенство равносильно выполнению двух условий: а) в матрице A существует ненулевой минор порядка r; б) любой минор более высокого порядка (если такой существует) равен нулю.
Пусть . Любой ненулевой минор порядка называется базисным минором. Строки и столбцы матрицы , в которых расположен базисный минор называются базисными строками и столбцами.
Теорема 6.1. При транспонировании матрицы её ранг не изменяется.
Доказательство. Справедливость приведенной теоремы вытекает из следующих двух фактов: 1. Определители транспонированных матриц равны; 2. При транспонировании базисные строки матрицы становятся базисными столбцами матрицы , а базисные столбцы – базисными строками.
Теорема 6.2. Элементарные преобразования матрицы не изменяют её ранга.
Справедливость теоремы непосредственно вытекает из определения ранга, так как, при элементарных преобразованиях матрицы, любой её ненулевой минор преобразуется в ненулевой минор.
Теорема 6.3. Ранг трапециевидной матрицы равен числу её ненулевых строк.
Доказательство. Пусть матрица имеет вид
.
Рассмотрим минор порядка , расположенный в левом верхнем углу матрицы .
.
В силу теоремы 4.2 .
Пусть - любой минор, порядок которого больше . Так как, в матрице всего ненулевых строк, то минор содержит строку, целиком состоящую из нулей т.е. . Следовательно .
Доказательство теоремы 6.3, для верхних травециевидных матриц остальных трех типов проводится аналогично.
Метод Гаусса вычисления ранга. Теоретическую основу этого метода составляют, доказанные выше, теоремы 6.2 и 6.3. Суть метода Гаусса вычисления ранга матрицы состоит в приведении этой матрицы элементарными преобразованиями к верхней трапециевидной форме и подсчете ненулевых строк полученной трапециевидной матрицы.