4. Линейные преобразования декартовых прямоугольных координат.

В задачах аналитической геометрии часто приходится, наряду с данной прямоугольной системой координат, вводить и другие прямоугольные системы координат. Естественно возникает вопрос: как найти координаты какой либо точки в одной системе координат, зная её координаты в другой системе координат.

Рассмотрим два вида преобразований прямоугольных координат:

1. Параллельный сдвиг осей. Когда изменяется положение начала координат, а направления осей остаются прежними;

2. Поворот осей координат. Когда обе оси поворачиваются в одну сторону на один и тот же угол, а начало координат не изменяется.

Рассмотрим сначала преобразования координат первого типа.

1. Параллельный сдвиг.

Пусть в прямоугольной системе координат , точка имеет координаты . Новые оси координат и выберем сонаправленными со старыми осями и . Пусть координаты точки в системе

установим связь между координатами и .

Так как, – величина направленного отрезка , – величина направленного отрезка , - величина направленного отрезка , - величина направленного отрезка , то

Из последних равенств находим

или

Формулы (27) и (28) определяют связь между координатами и , т.е. связь между старыми и новыми координатами произвольной точки плоскости .

2. Поворот осей координат

Пусть система координат получена путём поворота системы координат на угол .

Пусть координаты точки в системе координат , координаты этой же точки в новой системе координат .

Установим связь между координатами и .

Т.к. - координаты точки , то

где - единичные векторы, имеющие направление осей и соответственно.

Пусть и - единичные векторы, полученные поворотом векторов и на угол . Очевидно, векторы имеют направления, совпадающие с направлениями осей и соответственно. Т.к. - координаты точки в системе координат , то

Из равенства (30) следует, что

Из равенства (29) следует, что

Из равенств (31), (32), (33), (34) следует, что

Равенства (35) позволяют находить координаты точки в системе координат , зная её координаты в системе координат .

Рассматривая равенства (35), как систему линейных алгебраических уравнений и разрешая эту систему относительно , мы можем выразить и через и .

Действительно, определитель основной матрицы равен (35)

Т.к. , мы можем найти по формулам Крамера

Матрица

называется матрицей преобразования координат.

Равенства (35), (37) можно записать в следующем виде

Матрица , для которой называется ортогональной матрицей. Легко убедиться, что матрица преобразования координат (38) является ортогональной матрицей.

Уравнение линии второго порядка.

Общее уравнение линии второго порядка имеет следующий вид:

где – произвольные числа, при этом числа одновременно не обращаются в ноль, т.е. . Коэффициенты будем называть старшими коэффициентами.

Лемма 3.1. Пусть в прямоугольной системе координат задано уравнение (37) и пусть . Тогда с помощью параллельного сдвига и последующего поворота осей координат уравнение (37) приводится к виду

где - некоторые числа; - координаты точки в новой системе координат.

Доказательство. Пусть прямоугольная система координат получена параллельным сдвигом системы , причём начало координат перенесено в точку . Тогда старые координаты будут связаны с новыми координатами формулами

.

Подставляя эти выражения в уравнение (37), получим

.

Из последнего уравнения получим

где , . Подберём точку так, чтобы коэффициенты и в уравнении (39) обращались в ноль, т.е.

Если рассматривать уравнения (40) как систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными и , то эта система имеет единственное решение, т.к.

Следовательно, на плоскости существует точка такая, что в системе координат , полученной параллельным сдвигом системы координат , уравнение (37) имеет вид

Заметим, что коэффициенты при старших членах уравнения (37), при параллельном сдвиге системы координат не меняются.

Пусть теперь прямоугольная система координат получена поворотом системы на угол . Тогда связаны с координатами и формулами

Подставляя выражения и в уравнение (41), получим

Вводя обозначения

получим .

Выберем угол поворота так, чтобы коэффициент в уравнении (44) обратился в нуль, т.е.

Если , то , т.е. в качестве можно взять . Если же , то из равенства (45) имеем . Следовательно, существует такой угол , что в уравнении (44) обратится в ноль и уравнение (44) примет вид

Лемма 3.1 доказана.

Замечание. Уравнения (40) называются уравнениями центра линии второго порядка, а точка , где и - решение системы (40), называется центром этой линии. Заметим, что необходимым и достаточным условием существования единственного решения системы (40) является условие

Докажем теперь, что .

Величина называется инвариантом общего уравнения линии второго порядка.

Классификация линий второго порядка.

В зависимости от знака величины общее уравнение линии второго порядка разделяются на следующие три типа:

1. эллиптический тип

2. гиперболический тип

3. параболический тип.

Нами доказано, что любое уравнение линии второго порядка при путём преобразования координат (параллельный перенос и поворот на определённый угол ) можно привести к виду

Очевидно, что при преобразовании координат меняется только вид уравнения линии второго порядка. Поэтому мы можем вместо общего уравнения линии второго порядка исследовать уравнение более простого вида, а именно уравнение (47).

1) Рассмотрим линии эллиптического типа, т.е. . Выше было доказано, что

, т.е. величина является инвариантом относительно указанных преобразований координат. Так как , то , и следовательно, .

Рассмотрим два случая

а) , , . Тогда из уравнения (47) имеем

Т.к. и , то обозначая и , получим

Очевидно, что последнему уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки плоскости. Оно называется уравнением мнимого эллипса.

б) , , . Тогда из уравнения (47) имеем

Т.к. и , обозначая , , получим

Т.е. в этом случае уравнение (47) определяет эллипс. (Рассмотреть случай , , )

Случаи , , и , , рассматриваются аналогично.

2) Гиперболический тип. . Согласно лемме 3.1 общее уравнение линии второго порядка приводится к виду . Рассмотрим следующие возможные случаи:

а) , , . Перенесём в правую часть уравнения и разделим на него, получим

Так как и , то, обозначая и , получим

Последнее уравнение является каноническим уравнением гиперболы.

б) , , . Тогда уравнение (47) примет вид . Обозначая ,

, получим или .

Последнему уравнению удовлетворяют координаты точек, расположенных на пересекающихся прямых и . Таким образом, в данном случае, уравнение (47) определяет пару пересекающихся прямых.

в) , , . В этом случае уравнение (47) можно записать в виде

. .

Так как и , то обозначая и , получим

Что является уравнением гиперболы, сопряжённой к гиперболе

Все оставшиеся случаи получаются из рассмотренных случаев а, б, в.

3. Параболический тип. Если , то поворотом осей координат на угол , который был рассмотрен при доказательстве леммы 3.1, общее уравнение линии второго порядка может быть приведено к виду

Так как выражение является инвариантом относительно поворота осей координат, то

. Т.е либо , либо . Пусть и . Тогда из уравнения (49) найдем

Из этого уравнения имеем

или

Перенесём начало координат параллельно оси в точку и перейдём к новым координатам и , тогда

И уравнение (50) примет вид

где .

Рассмотрим два случая.

а) . Тогда уравнение (51) можно записать в виде

Перенесём начало координат параллельно оси в точку , получим , . Учитывая последние равенства в уравнении (52), получим

или , где .

б) , тогда

Если и имеют разные знаки, то уравнение (53) можно записать в следующем виде:

где .

Уравнение (54) в свою очередь можно записать в виде . Это уравнение определяет пару параллельных прямых и .

Если и имеют одинаковые знаки, то уравнение (53) примет вид: , где . Очевидно последнему уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки плоскости. Оно называется уравнением пары мнимых параллельных прямых.

Наконец, если , то уравнение (53) примет вид или . Последнее уравнение определяет ось и оно называется уравнением пары совпадающих прямых.

В заключении сформулируем следующую теорему, справедливость которой следует из проведённого выше рассуждений.

Теорема 4.1. Пусть в прямоугольной системе координат задано общее уравнение линии второго порядка

Тогда существует такая прямоугольная система координат, в которой это уравнение принимает один из следующих девяти канонических видов:

1. – эллипс;

2. - мнимый эллипс;

3. - пара мнимых пересекающихся прямых;

4. - гипербола;

5. - пара пересекающихся прямых;

6. парабола;

7. - пара параллельных прямых;

8. - пара мнимых параллельных прямых;

9. - пара совпадающих прямых.