4. Физический смысл производной.

Предположим, что функция описывает закон движения материальной точки по прямой линии, т.е. - путь, пройденный точкой от начала отсчёта за время .

Тогда за время пройден путь , а за время - путь . За промежуток времени точка пройдёт отрезок пути . Отношение называется средней скоростью движения за время , а предел разностного отношения при определяет мгновенную скорость точки в момент времени .

5. Правая и левая производные.

По аналогии с понятиями правого и левого пределов вводятся понятия правой и левой производных функции в точке .

Правой (соответственно левой) производной функции в данной фиксированной точке называется правый (соответственно левый) предел разностного отношения при (если этот предел существует).

Правую производную обозначим символом , левую - .

Следовательно,

Непосредственно из теоремы 4.1 §4 главы 5 следует, что производная в точке существует тогда и только тогда, когда существуют правая и левая производные в данной точке и выполнены равенства .

Рассмотрим пример . Эта функция в точке имеет правую и левую производные, но не имеет производной в этой точке.

Действительно

Однако не существует предел , так как, предел справа равен 1, а предел слева -1.

6. Понятие дифференцируемости функции.

Пусть функция определена на некотором интервале и пусть приращение аргумента такое, что вместе с некоторым фиксированным значением , также принадлежит интервалу .

Функция называется дифференцируемой в точке , если приращение этой функции в точке , соответствующее приращению аргумента , можно представить в виде

где некоторое число, не зависящее от , а бесконечно малая функция при , т.е. .

Теорема 1.1. Для того чтобы функция была дифференцируемой в данной точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Доказательство. Необходимость.

Пусть функция дифференцируема в данной точке , т.е. её приращение в этой точке представимо в виде (5). Предположив, что и поделив обе части равенства (5) на , получим

Тогда

Следовательно, существует конечная производная в точке , при этом эта производная равна .

Достаточность.

Пусть функция имеет в данной точке конечную производную, т.е. существует предел . Тогда, функция является бесконечно малой при . Из равенства (7) находим , где является бесконечно малой функцией при . Следовательно, приращение представимо в виде равенства (5), что означает дифференцируемость функции в данной точке .

Из теоремы 1.1 следует, что понятие дифференцируемости функции в данной точке можно отождествлять с понятием существования у функции производной в данной точке.

В дальнейшем операцию нахождения производной будем называть дифференцированием.

Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности функции.

Теорема 1.2. Если функция дифференцируема в данной точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке , то её приращение можно представить в виде

, где – постоянная, не зависящая от , а - бесконечно малая функция при . Тогда . Из последнего равенства следует непрерывность функции в данной точке .

Заметим, что обратное утверждение неверно, т.е. из непрерывности функции в данной точке не следует её дифференцируемость в этой точке.

Пример. Функция непрерывна в точке 0, однако, как было показано выше, у этой функции не существует производной в точке 0. Следовательно, эта функция не дифференцируема в точке 0.

Отметим также, что существуют непрерывные на сегменте функции, не имеющие производной ни в одной точке этого сегмента. Приводить примеры таких функций мы не будем, так как, построение такого примера не является простой задачей, и оно выходит из рамки нашего курса.