- •Глава 1. Матрицы
- •§1 Понятие матрицы
- •§2. Операции над матрицами
- •§3 Элементарные преобразования матриц
- •§4. Определители
- •§5. Обратная матрица
- •§6. Ранг матрицы.
- •Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •§1. Постановка задачи. Терминология.
- •§2 Системы с квадратной невырожденной матрицей.
- •§3. Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений.
- •§4. Системы с верхней трапециевидной матрицей.
- •§5.Системы общего вида
- •§6. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.
- •Глава 3. Векторная алгебра.
- •§1. Декартовы координаты на прямой.
- •§2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве.
- •§3. Понятие вектора и линейные операции над векторами.
- •§4. Проекция вектора на ось и её свойства.
- •§5. Скалярное произведение двух векторов.
- •Глава 4. Основы аналитической геометрии
- •§1. Простейшие задачи аналитической геометрии.
- •1. Расстояние между двумя точками
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Полярная система координат.
- •§2. Различные виды уравнений прямой на координатной плоскости. Взаимное расположение прямых.
- •1. Параметрические уравнения прямой.
- •2. Каноническое уравнение прямой в плоскости.
- •3. Общее уравнение прямой в плоскости.
- •4. Уравнение прямой в отрезках.
- •5. Неполные уравнения прямой.
- •6. Уравнение прямой, проходящей через заданные две точки.
- •7. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •8. Условия пересечения, коллинеарности и ортогональности двух прямых. Угол между двумя пересекающимися прямыми.
- •9. Пучок прямых, уравнение пучка прямых.
- •10. Нормированное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.
- •§3. Кривые второго порядка.
- •Эллипс. Каноническое уравнение эллипса.
- •2. Гипербола.
- •3. Парабола.
- •4. Линейные преобразования декартовых прямоугольных координат.
- •Глава 5. Элементы математического анализа
- •§1. Множества. Операции над множествами.
- •§2. Вещественные числа и их основные свойства
- •1. Рациональные числа и их основные свойства.
- •2. Вещественные числа и правило их сравнения.
- •3. Множества вещественных чисел, ограниченные сверху или снизу.
- •4. Операция сложения и умножения вещественных чисел.
- •§ 3. Числовые последовательности.
- •1. Понятие последовательности. Арифметические операции над последовательностями.
- •2. Ограниченные, неограниченные, бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
- •3. Сходящиеся последовательности и их свойства.
- •4. Монотонные последовательности.
- •§4. Функция и её предел.
- •Односторонние пределы.
- •4. Предел функции при и при .
- •5. Арифметические операции над функциями, имеющими предел.
- •6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •7. Замечательные пределы.
- •§5. Непрерывные функции.
- •2. Арифметические операции над непрерывными функциями.
- •3. Примеры непрерывных функций.
- •4. Классификация точек разрыва.
- •5. Основные свойства непрерывных функций.
- •6. Понятие сложной функции.
- •7. Понятие обратной функции.
- •Глава 6. Основы дифференциального исчисления.
- •§1. Производная.
- •1. Приращение аргумента и функции. Разностная форма условия непрерывности.
- •2. Определение производной.
- •3. Геометрический смысл производной.
- •4. Физический смысл производной.
- •5. Правая и левая производные.
- •6. Понятие дифференцируемости функции.
- •7. Понятие дифференциала функции.
- •§2. Дифференцирование сложной функции и обратной функции.
- •1. Дифференцируемость сложной функции.
- •2. Дифференцируемость обратной функции.
- •3. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •§3. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функции.
- •§4. Производные простейших элементарных функций.
- •12. Таблица производных простейших элементарных функций.
- •13. Таблица дифференциалов простейших элементарных функций.
- •13. Логарифмическая производная степенно-показательной функции.
- •§5. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •1. Понятие производной -го порядка.
- •3. Формула Лейбница для -й производной произведения двух функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •Глава 7. Теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения
- •§1 Локальный экстремум функции.
- •2. Теорема Ролля.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •4. Достаточное условие монотонности функции на интервале.
- •5. Формула Коши.
- •§2. Раскрытие неопределённостей (правило Лопиталя)
- •1. Первое правило Лопиталя.
- •2. Второе правило Лопиталя.
- •3. Другие виды неопределённостей и их раскрытие.
- •§3. Формула Тейлора
- •1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена в форме Пеано.
- •3. Формула Маклорена.
- •4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •§4. Достаточное условие экстремума.
- •1. Первое достаточное условие экстремума.
- •2. Второе достаточное условие экстремума.
- •3. Экстремум функции, не дифференцируемой в данной точке.
- •§5. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба.
- •1. Направление выпуклости графика функции.
- •2. Точки перегиба графика функции.
- •§6. Асимптоты графика функции.
- •Глава 8. Неопределённый интеграл.
- •§1. Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла.
- •1. Понятие первообразной функции.
- •2. Неопределённый интеграл.
- •3. Основные свойства неопределённого интеграла.
- •4. Таблица основных интегралов.
- •§2. Основные методы интегрирования.
- •1. Интегрирование заменой переменной.
- •2. Метод интегрирования по частям.
- •Глава 9. Определённый интеграл.
- •§1. Понятие определённого интеграла.
- •1. Интегральная сумма и её предел.
- •2. Верхние и нижние суммы.
- •§2. Свойства определённого интеграла.
- •§3. Существование первообразной у любой непрерывной функции.
- •§4. Основная формула интегрального исчисления.
- •1. Формула Ньютона-Лейбница.
- •2. Замена переменной в определённом интеграле.
- •3. Формула интегрирования по частям в определённом интеграле.
- •§5. Несобственные интегралы.
- •1. Несобственный интеграл первого рода.
- •2. Несобственный интеграл II рода.
- •§6. Геометрические и физические приложения определённого интеграла.
- •1. Площадь криволинейной трапеции.
- •2. Площадь криволинейного сектора.
- •3. Длина дуги плоской кривой.
- •5. Площадь поверхности вращения.
- •6. Физические приложения определённого интеграла.
2. Второе достаточное условие экстремума.
В некоторых случаях исследование знака первой производной слева и справа от точки возможного экстремума затруднено. В таких случаях целесообразно использовать второе достаточное условие экстремума. При этом приходится усиливать условие, накладываемое на функцию . Справедлива следующая теорема:
Теорема 4.2. (Второе достаточное условие экстремума)
Пусть функция имеет в некоторой точке конечную вторую производную . При этом . Тогда функция имеет в точке локальный максимум, если и локальный минимум, если . (Рассмотрим случай )
Доказательство. По определению, вторая производная функции в точке равна
Т.к. , из равенства (5) получим
По условию . Из определения предела функции и равенства (5) имеем, что для положительного числа такое, что для всех справедливы неравенства
или
Т.к. , то из последних неравенств следует, что справедливо неравенство для всех , удовлетворяющих неравенствам . Рассмотрим два случая
1) 2) .
1) Если , то и из неравенства (6) имеем , т.е. производная функции положительна слева от точки .
2) Если , то и из неравенства (6) имеем , т.е. производная функции отрицательна справа от точки . Тогда из первого достаточного условия экстремума следует, что в точке функция имеет локальный максимум.
Пусть теперь . Рассмотрим функцию , тогда ,
, следовательно функция имеет в точке локальный максимум, но тогда функция будет иметь в точке локальный минимум. Теорема 4.2. доказана.
3. Экстремум функции, не дифференцируемой в данной точке.
При доказательстве теоремы 4.1 мы пользовались теоремой Лагранжа на сегменте , в случае, когда рассматривался интервал и и в случае интервала . Но в теореме Лагранжа вовсе не требуется, чтобы функция была дифференцируемой в точке , а требуется всего лишь непрерывность функции на указанном сегменте. Учитывая сказанное выше, заключаем, что справедлива следующая
Теорема 4.3. Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки и дифференцируема всюду в указанной окрестности за исключением точки . Тогда, если в указанной окрестности производная положительна (соответственно отрицательна) слева от точки и отрицательна (соответственно положительна) справа от точки , то функция имеет в точке локальный максимум (соответственно локальный минимум). Если же производная имеет один и тот же знак слева и справа от точки , то экстремума в точке нет.
Пример. . Эта функция непрерывна на всей бесконечной прямой и дифференцируема в каждой точке, за исключением одной точки , причём при и при . Теорема 4.1 к этой функции неприменима, а согласно теореме 4.3 она имеет минимум в точке .
§5. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба.
1. Направление выпуклости графика функции.
Пусть функция дифференцируема в каждой точке интервала . Тогда, как известно, в каждой точке графика функции существует касательная к графику данной функции, при этом эта касательная не параллельна .
Определение 5.1. Будем говорить, что график функции имеет на интервале выпуклость, направленную вниз (соответственно вверх), если график этой функции в пределах указанного интервала лежит не ниже (соответственно не выше) любой своей касательной.
Справедлива следующая теорема:
Теорема 5.1. Пусть функция дважды дифференцируема на интервале и её вторая производная неотрицательно (соответственно неположительна) всюду на интервале , тогда график функции имеет на указанном интервале выпуклость, направленную вниз (вверх).
Доказательство. Для определённости рассмотрим случай, когда вторая производная всюду на интервале . Пусть - произвольная точка интервала . Нам нужно доказать, что график функции в пределах интервала лежит не ниже касательной, проходящей через точку .
Запишем уравнение касательной, проведённой к графику функции в точке .
где через обозначена ордината текущей точки касательной.
Т.к. функция дважды дифференцируема на интервале ? То к функции , в окрестности точки можно применить формулу Тейлора, в результате чего получим
где - некоторая точка, заключённая между и . Учитывая, что для любой точки из равенства (2) получим
Сопоставляя неравенство (3) и равенство (1), мы приходим к выводу, что . Это неравенство доказывает, что график функции всюду в пределах интервала лежит не ниже касательной, т.е. график функции имеет выпуклость, направленную вниз.
Аналогично доказывается теорема для случая .
Теорема 5.2. Пусть вторая производная функции непрерывна и положительна (соответственно отрицательна) в точке . Тогда существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции имеет выпуклость, направленную вниз (соответственно вверх).
Доказательство. Т.к. непрерывна в точке и , то по теореме 5.2 §5 гл. 5 об устойчивости знака непрерывной функции найдётся такая окрестность точки , в пределах которой вторая производная положительна (соответственно отрицательна). Тогда по теореме 5.1 график функции имеет в пределах этой окрестности выпуклость, направленную вниз (соответственно вверх).
Теорема 5.2 доказана.