Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
1.doc
Скачиваний:
42
Добавлен:
03.08.2019
Размер:
142.65 Mб
Скачать

2. Второе достаточное условие экстремума.

В некоторых случаях исследование знака первой производной слева и справа от точки возможного экстремума затруднено. В таких случаях целесообразно использовать второе достаточное условие экстремума. При этом приходится усиливать условие, накладываемое на функцию . Справедлива следующая теорема:

Теорема 4.2. (Второе достаточное условие экстремума)

Пусть функция имеет в некоторой точке конечную вторую производную . При этом . Тогда функция имеет в точке локальный максимум, если и локальный минимум, если . (Рассмотрим случай )

Доказательство. По определению, вторая производная функции в точке равна

Т.к. , из равенства (5) получим

По условию . Из определения предела функции и равенства (5) имеем, что для положительного числа такое, что для всех справедливы неравенства

или

Т.к. , то из последних неравенств следует, что справедливо неравенство для всех , удовлетворяющих неравенствам . Рассмотрим два случая

1) 2) .

1) Если , то и из неравенства (6) имеем , т.е. производная функции положительна слева от точки .

2) Если , то и из неравенства (6) имеем , т.е. производная функции отрицательна справа от точки . Тогда из первого достаточного условия экстремума следует, что в точке функция имеет локальный максимум.

Пусть теперь . Рассмотрим функцию , тогда ,

, следовательно функция имеет в точке локальный максимум, но тогда функция будет иметь в точке локальный минимум. Теорема 4.2. доказана.

3. Экстремум функции, не дифференцируемой в данной точке.

При доказательстве теоремы 4.1 мы пользовались теоремой Лагранжа на сегменте , в случае, когда рассматривался интервал и и в случае интервала . Но в теореме Лагранжа вовсе не требуется, чтобы функция была дифференцируемой в точке , а требуется всего лишь непрерывность функции на указанном сегменте. Учитывая сказанное выше, заключаем, что справедлива следующая

Теорема 4.3. Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки и дифференцируема всюду в указанной окрестности за исключением точки . Тогда, если в указанной окрестности производная положительна (соответственно отрицательна) слева от точки и отрицательна (соответственно положительна) справа от точки , то функция имеет в точке локальный максимум (соответственно локальный минимум). Если же производная имеет один и тот же знак слева и справа от точки , то экстремума в точке  нет.

Пример. . Эта функция непрерывна на всей бесконечной прямой и дифференцируема в каждой точке, за исключением одной точки , причём при и при . Теорема 4.1 к этой функции неприменима, а согласно теореме 4.3 она имеет минимум в точке .

§5. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба.

1. Направление выпуклости графика функции.

Пусть функция дифференцируема в каждой точке интервала . Тогда, как известно, в каждой точке графика функции существует касательная к графику данной функции, при этом эта касательная не параллельна .

Определение 5.1. Будем говорить, что график функции имеет на интервале выпуклость, направленную вниз (соответственно вверх), если график этой функции в пределах указанного интервала лежит не ниже (соответственно не выше) любой своей касательной.

Справедлива следующая теорема:

Теорема 5.1. Пусть функция дважды дифференцируема на интервале и её вторая производная неотрицательно (соответственно неположительна) всюду на интервале , тогда график функции имеет на указанном интервале выпуклость, направленную вниз (вверх).

Доказательство. Для определённости рассмотрим случай, когда вторая производная всюду на интервале . Пусть - произвольная точка интервала . Нам нужно доказать, что график функции в пределах интервала лежит не ниже касательной, проходящей через точку .

Запишем уравнение касательной, проведённой к графику функции в точке .

где через обозначена ордината текущей точки касательной.

Т.к. функция дважды дифференцируема на интервале ? То к функции , в окрестности точки можно применить формулу Тейлора, в результате чего получим

где - некоторая точка, заключённая между и . Учитывая, что для любой точки из равенства (2) получим

Сопоставляя неравенство (3) и равенство (1), мы приходим к выводу, что . Это неравенство доказывает, что график функции всюду в пределах интервала лежит не ниже касательной, т.е. график функции имеет выпуклость, направленную вниз.

Аналогично доказывается теорема для случая .

Теорема 5.2. Пусть вторая производная функции непрерывна и положительна (соответственно отрицательна) в точке . Тогда существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции имеет выпуклость, направленную вниз (соответственно вверх).

Доказательство. Т.к. непрерывна в точке и , то по теореме 5.2 §5 гл. 5 об устойчивости знака непрерывной функции найдётся такая окрестность точки , в пределах которой вторая производная положительна (соответственно отрицательна). Тогда по теореме 5.1 график функции имеет в пределах этой окрестности выпуклость, направленную вниз (соответственно вверх).

Теорема 5.2 доказана.