§2. Основные методы интегрирования.
1. Интегрирование заменой переменной.
Во многих задачах введение новой переменной интегрирования позволяет свести данный интеграл непосредственно к табличному интегралу.
Справедливо следующее утверждение:
Если функция 
определена и дифференцируема на множестве
,
представляющем собой конечный или
бесконечный интервал, и 
является множеством значений этой
функции, и если функция 
имеет на множестве
первообразную 
,
т.е.
то функция 
имеет на множестве
первообразную, равную 
,
т.е. справедлива формула
Доказательство.
По условию теоремы 
.
Пользуясь правилом дифференцирования
сложной функции, найдём производную
функции 
.
Из последнего равенства следует равенство
(2).
Предположим, что
требуется вычислить неопределённый
интеграл 
.
В ряде случаев удаётся выбрать в качестве
новой переменной такую дифференцируемую
функцию
,
что справедливо равенство 
.
Тогда из формулы (2) найдём
Указанный выше метод называется методом замены переменной, или методом подстановки.
2. Метод интегрирования по частям.
Справедливо
следующее утверждение. Пусть функции
и
дифференцируемы на множестве
,
представляющем собой конечный или
бесконечный интервал. И пусть функция
имеет на множестве
первообразную, тогда функция 
также имеет на этом множестве первообразную
и справедлива формула
Учитывая, что 
,
равенство (3) можно записать в виде
Доказательство. Вычислим производную функции .
Умножим равенство (5) на и возьмём неопределённый интеграл от обеих частей полученного при этом равенства
или 
Интегралы в правой
части равенства (7) существуют, при этом
.
Следовательно, существует интеграл 
и справедливо равенство (3).
Рассмотрим решение некоторых задач, с применением метода интегрирования по частям.
1. 
.
Пусть 
,
тогда
Следовательно
2. 
.
Пусть 
,
тогда
Следовательно, применяя формулу (7), найдём
3. 
,
где
и
действительные, отличные от нуля числа.
Положим 
.
Тогда
Применяя формулу (7), получим
К интегралу в правой части последнего равенства ещё раз применим формулу (7), полагая
,
тогда 
.
Следовательно
т.е.
Из последнего равенства находим
Глава 9. Определённый интеграл.
§1. Понятие определённого интеграла.
1. Интегральная сумма и её предел.
Рассмотрим функцию
,
определённую на сегменте
.
Пусть 
произвольное конечное множество сегмента
,
удовлетворяющее условиям
Множество точек
,
удовлетворяющих условиям (1) называется
разбиением сегмента
.
Сегмент 
называется
-м
частичным сегментом. Длину -го частичного
сегмента обозначим через 
,
т.е. 
.
Пусть 
– произвольная точка, принадлежащая
-му
частичному сегменту 
.
Составим для заданной функции и заданного разбиения (1) следующую сумму:
называемую интегральной суммой функции на сегменте , отвечающей данному разбиению (1) сегмента и данному выбору точек .
Обозначим через
наибольшую длину частичных сегментов
данного разбиения сегмента
,
т.е. 
.
Определение
1.1. Число
называется пределом интегральных сумм
(2) при стремлении к нулю наибольшей
длины
частичных сегментов, если для любого
положительного числа
найдётся зависящее от
положительное число 
такое, что для всех разбиений сегмента
независимо от выбора точек
,
из неравенства 
следует неравенство
Определение 1.2. Функция называется интегрируемой на сегменте , если существует конечный предел
При этом указанный предел называется определённым интегралом от функции по сегменту и обозначается символом
В этом обозначении функция называется подынтегральной функцией, число – нижним пределом интегрирования, а число – верхним пределом интегрирования.
Из определения следует, что определённый интеграл зависит только от функции и пределов интегрирования и и не зависит от выбора обозначения аргумента интегрирования, т.е.
