Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений.

§1. Постановка задачи. Терминология.

Системой линейных алгебраических уравнений с неизвестными называется совокупность соотношений

где , - заданные числа, а - неизвестные величины. Числа называются коэффициентами системы, а – свободными членами. При этом предполагается, что хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.

Упорядоченная совокупность чисел называется решением системы (1), если при подстановке этих чисел в систему вместо неизвестных соответственно, каждое уравнение системы обращается в тождество.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет ни одного решения.

Система (1) называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если имеет более одного решения.

Исследовать и решить систему – это значит

а) Установить, совместна она или несовместна;

б) Если она совместна, установить, является она определённой или неопределённой, при этом

- в случае определённой системы найти единственное её решение;

- в случае неопределённой системы описать множество всех её решений.

Компактная запись системы.

Рассмотрим матрицу , составленную из коэффициентов системы (1). Матрица называется основной матрицей системы (1).

Пусть - матрица столбец, составленная из свободных членов, а – матрица столбец, составленная из неизвестных . Тогда система (1) может быть записана в виде

Уравнение (2) называется матричной формой записи системы (1).

Приписав к основной матрице столбец свободных членов , получим матрицу

размера .

Матрица называется расширенной матрицей системы (1).

§2 Системы с квадратной невырожденной матрицей.

Рассмотрим системы линейных алгебраических уравнений, состоящей из уравнений и неизвестных .

Пусть - основная матрица системы (1), - столбец неизвестных и – столбец свободных членов.

Запишем систему (1) в матричной форме

Теорема 2.1. Система линейных алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матрицей совместна и имеет единственное решение.

Доказательство. Основная матрица системы (1) не вырождена, следовательно она обратима, т.е. для неё существует обратная матрица .

Умножая обе части равенства слева на матрицу , получим

Равенство (3) определяет решение матричного уравнения (2).

Матрица является матрицей столбцом размера . Записывая равенство (3) в развёрнутом виде, т.е. приравнивая элементы в одинаковых позициях. Мы найдём значения . Тем самым совместность системы (1) доказана.

Докажем теперь, что найденное решение является единственным решением системы (1).

Пусть – любое решение системы (1). Тогда матрица столбец будет удовлетворять матричному равенству

Умножая обе части равенства (4) слева на матрицу , получим .

Сопоставляя равенства (3) и (5), приходим к выводу что доказывает единственность решения системы (1).

Правило Крамера. При доказательстве теоремы 2.1 была получена матричная форма записи решения системы (1). . Учитывая, что

получим

Следовательно

Введём следующие обозначения

Заметим, что определители отличаются от определителя только i-ым столбцом. На месте i-го столбца стоит столбец свободных членов .

Раскладывая определитель по первому столбцу, определитель по второму столбцу и т.д. Определитель по последнему столбцу, получим

Учитывая равенства (7) в равенствах (6) мы получим

Формулы (8) называются формулами Крамера.

Пример. Пользуясь формулами Крамера, решить систему:

Вычислим определитель основной матрицы системы:

Вычислим определители

Следовательно