7. Понятие дифференциала функции.

Пусть функция дифференцируема в точке , т.е. её приращение в этой точке может быть записано в виде (5). Первое слагаемое в правой части представления (5) имеет вид , где - постоянная, не зависящая от . Если , то является главной частью приращения дифференцируемой функции. Эту главную часть приращения называют дифференциалом функции в точке , соответствующим приращению аргумента . Дифференциал функции обозначается символом . Итак, для дифференцируемой в точке функции

Если , то дифференциал считают равным нулю.

Учитывая, что для дифференцируемой в точке функции , , то равенство (8) можно записать в виде .

Заметим, что дифференциал в данной точке , вообще говоря, не равен приращению в этой точке

Точка на графике функции имеет координаты , а точка – . Тогда приращение равно величине отрезка . В то же время из прямоугольного треугольника имеем . Очевидно, величина отрезка , вообще говоря, отличается от величины .

Установим выражение для дифференциала функции , аргумент которой является независимой переменной.

Под дифференциалом независимой переменной будем понимать приращение этой переменной, т.е. , тогда равенство (9) примет вид: .

В дальнейшем будет показано, что равенство (10) верно и в случае, когда аргумент не является независимой переменной, а сам представляет собой дифференцируемую функцию новой переменной.

§2. Дифференцирование сложной функции и обратной функции.

1. Дифференцируемость сложной функции.

Теорема 2.1. Пусть функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке . Тогда сложная функция дифференцируема в указанной точке , при этом

Доказательство. Придадим аргументу функции в данной точке произвольное отличное от нуля приращение . Этому приращению соответствует приращение функции

.

Приращению в свою очередь отвечает приращение функции в соответствующей точке . Т.к. функция дифференцируема в указанной точке , то её приращение в этой точке может быть представлено в виде

где . Поделив равенство (2) на , получим

Из дифференцируемости функции в точке следует, что отношение имеет предел при , равный . Докажем теперь, что . Из дифференцируемости функции в точке следует её непрерывность в этой точке, тогда . Т.е. при из чего следует справедливость равенства (4). Таким образом, из равенства (3) находим

или . Теорема 2.1 доказана.

Замечание 1. Теорема 2.1 последовательно переносится на сложную функцию, являющуюся суперпозицией трёх и большего числа функций. Например, для сложной функции являющейся суперпозицией трёх функций имеем

2. Дифференцируемость обратной функции.

Теорема 2.2. Пусть функция возрастает (убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки . Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в указанной точке , и её производная в этой точке отлична от нуля. Тогда в некоторой окрестности точки определена обратная для функции функция , причём указанная обратная функция дифференцируема в точке и справедлива формула

Доказательство. Т.к. функция строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности данной точки , то в силу теоремы 5.8 главы 5 существует обратная функция , которая определена, строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки .

Придадим аргументу обратной функции в указанной точке , произвольное достаточно малое и отличное от нуля приращение . Этому приращению соответствует приращение

обратной функции в соответствующей точке , причём в силу строгой монотонности обратной функции указанное приращение . Тогда мы можем записать

Перейдём к пределу в равенстве (7) при .

Заметим, что в силу непрерывности обратной функции в точке , т.е. при .

Для завершения доказательства теоремы 2.2 остаётся убедиться в том, что предел в правой части равенства (7) существует при и, что этот предел равен .

Т.к. , , то по определению обратной функции. Следовательно . Учитывая последнее равенство в равенстве (7), получим

Из этого равенства находим

Теорема доказана.