§4. Производные простейших элементарных функций.

1. Производная функции .

Для приращения функции в произвольной точке справедливо равенство:

Тогда при любом разностное отношение имеет вид

По определению производной . В силу первого замечательного предела и непрерывности функции в точке найдём

2. Производная функции .

Так как для любого значения аргумента , то по формуле дифференцирования сложной функции

Итак, .

3.Производная функции

Пользуясь правилом дифференцирования частного, из равенства найдем

в каждой точке

4. Производная функции .

Так как , то в силу правила дифференцирования частного в любой точке действительной прямой, в которой

Итак, в любой точке

5. Производная логарифмической функции.

Рассмотрим функцию , где . Пусть - фиксированная точка. Тогда для любого достаточно малого разностное отношение имеет вид

По определению производной

Введём обозначение . Очевидно, что при , тогда из равенства (5) найдём

Заметим, что , В силу существования этого предела и непрерывности функции в точке следует, имеем

Итак, для любых и .

6. Производная показательной функции.

Так как функция , определённая на всей числовой прямой , является обратной для функции , определённой на полупрямой и для функции в окрестности любой точки полупрямой выполнены все условия теоремы 2.2 §2 гл. 6, то в силу этой теоремы функция дифференцируема в любой точке и для её производной в данной точке справедлива формула

Из последнего равенства и соотношения , получим

для любой точки . В частности, при получим .

Производная функции . Так как функция определена на интервале , является обратной для функции , определённой на интервале , и для функции в окрестности любой точки интервала выполнены все условия теоремы 2.2 §2 гл. 6, то по этой теореме функция имеет производную в любой точке и эта производная в точке равна

Корень мы взяли со знаком «+», так как на интервале . Учитывая в равенстве (9), что , получим

для всех из интервала .

8. Производная функции . Функция определена на интервале и является обратной для функции , определённой на интервале . Для функции выполнены все условия теоремы 2.2 §2 гл. 6. Следовательно функция имеет в любой точке интервала производную и эта производная находится по формуле

Перед корнем мы взяли знак «+», так как на интервале . Учитывая, что из равенства (11) получим

для всех из интервала .

9. Производная функции . Функция определена на бесконечной прямой

и является обратной для функции , определённой на интервале . Согласно теореме 2.2 о производной обратной функции в каждой точке бесконечной прямой существует производная функции и эта производная вычисляется по формуле

Учитывая, что , из равенства (13) найдём

для любой .

10. Производная функции . Функция определена на бесконечной прямой и является обратной для функции , определённой на интервале . Из теоремы 2.2 о производной обратной функции следует, что функция имеет производную в каждой точке бесконечной прямой , и эта производная находится по формуле

Учитывая в последнем равенстве, что , получим

для любого .

11. Производная степенной функции. Рассмотрим функцию , где - любое вещественное число. Эта функция определена для любого значения аргумента . Заметим, что функцию можно представить как суперпозицию логарифмической и показательной функций

. Тогда . Учитывая, что , из последнего равенства найдём

для любого .