3. Односторонние пределы.

Определение одностороннего предела по Гейне. Число называется правым (левым) пределом функции в точке , если для любой сходящейся к последовательности , элементы которой больше (меньше) , соответствующая последовательность сходится к числу .

Обозначение .

Определение одностороннего предела по Коши. Число называется правым (левым) пределом функции в точке , если для любого существует такое, что для всех , удовлетворяющих неравенствам выполняется неравенство .

Повторяя рассуждения, приведенные в п.2, без особого труда, можно доказать эквивалентность приведенных определений.

Рассмотрим в качестве примера функцию . Для этой функции имеем

р

так как, для любой сходящейся к последовательности , элементы которой больше имеем , а для любой сходящейся к последовательности , элементы которой меньше поэтому , .

Теорема 4.1. Функция имеет в точке предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы, и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.

Доказательство. Пусть . Тогда, согласно определению предела функции слева и справа, для любого существуют числа и , такие, что для всех , удовлетворяющих неравенствам и для всех , удовлетворяющих неравенствам справедливо неравенство .

Пусть , тогда для всех , удовлетворяющих неравенствам будет выполнено хотя бы одно из двух неравенств (4) и (5), но при таких значениях верно неравенство (6). Итак, для любого положительного существует такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенствам , выполнено неравенство . Т.е. является пределом функции в точке .

Обратно. Пусть . Тогда для любого , существует такое, что как только , справедливо неравенство . Следовательно, неравенство верно для всех , удовлетворяющих неравенствам и для всех , удовлетворяющих неравенствам . Но в таком случае, из определения левого и правого пределов следует, что и . Теорема 4.1 доказана.

4. Предел функции при и при .

Предел функции при по Гейне. Число называется пределом функции при , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .

Предел функции при по Коши. Число называется пределом функции при , если для любого положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство .

Предел функции при (при ) по Гейне. Число называется пределом функции при ( ), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента , все элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность сходится к числу .

Предел функции по Коши. Число называется пределом функции при ( ), если для любого существует число такое, что для всех значений аргумента , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство

.

Для обозначения введённых выше пределов используется следующая символика:

.