2. Верхние и нижние суммы.

Пусть функция определена и ограничена на сегменте . Тогда для произвольного разбиения (1), функция ограничена на каждом частичном сегменте . Обозначим через и соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани функции на частичном сегменте . Из ограниченности функции на сегменте следует, что для каждого частичного сегмента существуют конечные числа и .

Для произвольного разбиения (1) сегмента рассмотрим следующие суммы:

Сумма (3) называется верхней суммой, отвечающей разбиению (1), а сумма (4) – нижней суммой, отвечающей этому разбиению.

Справедлива следующая теорема:

Теорема 1.1. Для того, чтобы ограниченная на сегменте функция была интегрируема на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало зависящее от положительное число , такое, что для любого разбиения сегмента ? У которого наибольшая длина частичных сегментов меньше , выполнялось неравенство

где и – верхняя и нижняя суммы, указанные в равенстве (3) и (4).

Теорема 1.1 приводится без доказательства.

Сформулируем также несколько теорем, доказательства которых приводить не будем.

Теорема 1.2. Если функция непрерывна на сегменте , то она интегрируема на указанном сегменте.

Теорема 1.3. Если функция интегрируема на сегменте , то интегрируема на указанном сегменте и функция .

Необходимое условие интегрируемости.

Теорема 1.4. Если функция интегрируема на сегменте , то она ограничена на указанном сегменте.

Замечание 1. Условие ограниченности функции на сегменте является необходимым, но не достаточным условием интегрируемости данной функции на сегменте .

Действительно, рассмотрим функцию , определённую на сегменте

Функция , определённая равенством (5) называется функцией Дирихле.

Очевидно, что для любого разбиения сегмента функция Дирихле ограничена на каждом частичном сегменте, при этом . Поэтому

Итак, , тогда из теоремы 1.1 мы заключаем, что функция Дирихле не интегрируема на сегменте .

Замечание к теореме 1.3. Из интегрируемости функции не следует интегрируемость функции .

Действительно, очевидно, что модуль функции Дирихле тождественно равен 1 на сегменте . Следовательно интегрируема на сегменте . Однако функция ? Как уже убедились, не интегрируема на сегменте .

§2. Свойства определённого интеграла.

1) Примем, как соглашение, что

2) и что для любой интегрируемой на сегменте функции

3) Свойство линейности. Если функции и интегрируемы на сегменте и и - произвольные вещественные числа, то функция интегрируема на сегменте , причём

Действительно, пусть - произвольное разбиение сегмента . Рассмотрим интегральную сумму функции , отвечающую данному разбиению и произвольному выбору точек .

Из последнего равенства имеем

Что доказывает и интегрируемость функции на сегменте , то интегрируемы на этом сегменте и функции и , при этом

Из свойства линейности также следует, что если функция интегрируема на сегменте , то для любого вещественного числа функция интегрируема на сегменте , при этом

4) Свойство аддитивности. Если и функция интегрируема на каждом из сегментов и , то

Действительно, возьмём произвольное разбиение сегмента , содержащее точку , т.е.

Возьмём произвольные точки , принадлежащие частичным сегментам и составим интегральную сумму, отвечающую данному разбиению сегмента .

Очевидно, точки образуют разбиение отрезка , а точки - разбиение отрезка . Тогда, в силу интегрируемости функции на сегментах и существуют пределы интегральных сумм, стоящих в правой части равенства (5) при стремлении к нулю наибольшей длины частичных сегментов. При этом предел правой части равенства равен

Для завершения доказательства равенства (4) остаётся заметить, что предел левой части равенства (5) равен

Замечание. При формулировке свойства 4) необязательно требовать интегрируемость функции на всех трёх сегментах и . Т.к. можно доказать, что из интегрируемости функции на сегменте следует интегрируемость этой функции на каждом из сегментов и и наоборо, из интегрируемости функции на сегментах и следует её интегрируемость на сегменте .

5) Если функция интегрируема на сегменте и всюду на сегменте , то

Доказательство. Очевидно, что любая интегральная сумма

Следовательно

6) Если функции и интегрируемы на сегменте и в каждой точке данного сегмента выполнено неравенство , то

Действительно, рассмотрим функцию , тогда эта функция интегрируема и неотрицательна на сегменте . Пользуясь свойствами 2) и 4), получим

Что доказывает справедливость неравенства.

Прежде чем перейти к формулировке следующего свойства, вычислим .

Пользуясь определением определённого интеграла, получим

Итак, для произвольного сегмента .

7) Формула среднего значения. Пусть функция интегрируема на сегменте , a и – точные верхняя и нижняя грани функции на сегменте. Тогда существует число удовлетворяющее условию

Доказательство. Прежде всего заметим, что из условия интегрируемости функции на сегменте следует ограниченность этой функции на указанном сегменте. Следовательно существуют точная верхняя и точная нижняя грани функции на сегменте . Для любой точки справедливы неравенства

Пользуясь свойством (5), получим

Из последних неравенств получим

Обозначим через число, равное

Из неравенств (9) следует, что для числа выполнены неравенства . Умножив обе части равенства на , мы получим требуемое равенство (8).

8) Формула среднего значения для непрерывной функции.

Если функция непрерывна на сегменте , то существует точка , принадлежащая сегменту такая, что

Доказательство. Так как функция непрерывна на сегменте , то в силу теоремы 1.2. §1 гл. 9 она интегрируема на сегменте . Следовательно справедливо равенство (8). Для завершения доказательства равенства (11) нам остаётся применить теорему 5.4. §5 главы 5. (Теорема о прохождении непрерывной на сегменте функции через любое промежуточное значение). Согласно этой теореме существует точка сегмента такая, что .

10) Если функция интегрируема на сегменте , то справедливо следующее неравенство

Доказательство. В силу теоремы 1.3 функция интегрируема на сегменте . Очевидно, что для любой точки сегмента справедливы равенства

Из последних неравенств и свойства (6) получим неравенства

что доказывает справедливость неравенства (12).