§2. Различные виды уравнений прямой на координатной плоскости. Взаимное расположение прямых.
1. Параметрические уравнения прямой.
Любой ненулевой вектор, коллинеарный прямой, называется её направляющим вектором.
Заметим, что для любой прямой существует бесконечное множество направляющих векторов.
Из аксиом геометрии следует, что через любую точку проходит единственная прямая с заданным направляющим вектором.
Рассмотрим декартову систему координат .
Пусть прямая 
с направляющим вектором 
лежит
в плоскости 
и проходит через некоторую точку 
.
Очевидно, что точка
– лежит на прямой
тогда и только тогда, когда векторы 
и
коллинеарны.
Заметим, что вектор 
имеет
координаты 
.
Пусть точка
лежит на прямой
,
тогда из коллинеарности векторов
и
следует, что существует 
,
что
.
Из равенства (1) находим
Мы показали, что точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют уравнениям (2).
Уравнения (2) называются параметрическими уравнениями прямой .
2. Каноническое уравнение прямой в плоскости.
Пусть
- произвольная прямая в плоскости
.
- произвольная точка этой прямой. 
– направляющий вектор прямой
.
Предположим, что 
.
Запишем параметрические уравнения прямой.
Определяя из
каждого уравнения параметр 
,
а затем приравнивая полученные значения,
получим
Уравнение (3) называется каноническим уравнением прямой.
Из приведённых выше рассуждений следует, что точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют уравнению (3).
Если 
,
то из параметрического уравнения (2)
имеем 
.
Если
то 
.
3. Общее уравнение прямой в плоскости.
Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат .
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2.1. Если прямая принадлежит плоскости , то уравнение этой прямой в данной системе координат имеет вид
где хотя бы один
из коэффициентов
отличен от нуля. И наоборот. Всякое
уравнение (1), в котором хотя бы один из
коэффициентов
отличен от нуля, в некоторой системе
координат 
определяет прямую.
Уравнение (4) называется общим уравнением прямой на плоскости.
Доказательство.
Пусть 
–
произвольная прямая плоскости
–
её направляющий вектор, 
– произвольная точка прямой
.
Тогда параметрические уравнения этой
прямой имеют вид:
.
Умножая первое
уравнение на
,
а второе на 
,
а затем вычитая из первого равенства
второе, получим
или
.
(5)
Обозначая 
,
запишем уравнение (5) в виде
Следовательно,
уравнение прямой
имеет вид уравнения (4). При этом
вектор
является направляющим вектором прямой
,
по этому координаты 
не могут одновременно равняться нулю,
следовательно, хотя бы один из коэффициентов
отличен от нуля.
Докажем теперь обратное. Пусть дано уравнение (4). Ниже мы покажем, что существует некоторая прямая в плоскости такая, что координаты точек, лежащих на прямой и только они будут удовлетворять уравнению (4).
Рассмотрим систему уравнений, состоящую из одного уравнения
(6)
По условию 
,
по этому, система из одного уравнения
с неизвестными
имеет бесконечное множество решений.
Пусть 
и 
- два различных решения уравнения (3).
Т.е.
Вычитая из второго тождества первое, получим
Рассмотрим два
вектора
и
,
где 
Тогда равенство (8) можно записать в виде
. (9)
Из равенства (9), в частности следует, что векторы и ортогональны.
Рассмотрим в
плоскости
точки 
и
Покажем, что координаты любой точки
прямой, проходящей через точки
и только они удовлетворяют уравнению
(4).
Пусть 
- произвольная точка плоскости. Очевидно,
что точка
лежит на прямой
тогда и только тогда, когда вектор
коллинеарен
вектору
,
т.е когда вектор
ортогонален
вектору
.
Следовательно точка
принадлежит прямой
тогда и только тогда, когда выполнено
равенство
.
(10)
Т.к. 
,
то
равенство (10) можно записать в виде:
Из первого равенства
равенств (7) следует, что 
.
Учитывая это в равенстве (11), получим
.
Следовательно, координаты точек прямой и только они удовлетворяют уравнению (4).
Любой ненулевой вектор, ортогональный к заданной прямой, называется нормальным вектором этой прямой.
Замечание. Из
доказательства теоремы 2.1 следует, что
вектор 
является одним из нормальных векторов
прямой, определяемой уравнением
.