3. Сходящиеся последовательности и их свойства.

Последовательность называется сходящейся, если существует такое число , что последовательность является бесконечно малой. При этом число называется пределом последовательности .

Тот факт, что число является пределом сходящейся последовательности , обозначается следующим образом

Используя определение бесконечно малой последовательности, мы приходим к другому, эквивалентному определению сходящейся последовательности.

Последовательность называется сходящейся, если существует такое вещественное число , что для любого положительного вещественного найдётся такой номер , что для всех номеров справедливо неравенство

При этом число называется пределом последовательности .

Неравенство (11) можно записать в следующем виде

Прибегая к геометрической иллюстрации, неравенства (12) означают, что элементы , для номеров лежат на интервале . Интервал называется окрестностью точки .

Теорема 3.5. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство. Пусть числа и являются пределами сходящейся последовательности . Теорема 3.5 будет доказана, если мы покажем, что . Из определения сходящейся последовательности следует, что последовательности и являются бесконечно малыми. Обозначим элементы через , а элементы черлез . В силу теоремы 3.1 последовательность является бесконечно малой последовательностью, т.е. для любого положительного числа найдется такой номер , что для всех номеров справедливо неравенство .

С другой стороны, . Следовательно . Итак, для любого положительного числа имеем , из чего следует, что , т.е. . Теорема доказана.

Теорема 3.6. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть последовательность сходится и число является пределом последовательности . . Тогда последовательность является бесконечно малой последовательностью. Из теоремы 3.3 следует, что последовательность ограничена. Т.е. существует такое положительное число , что справедливо неравенство для всех номеров . Тогда . Учитывая неравенство (14) в последнем неравенстве, получим, что для всех номеров справедливо неравенство . Что означает ограниченность последовательности . Теорема доказана.

Теорема 3.7. Пусть и - пределы сходящихся последовательностей и соответственно. Тогда сходятся также последовательности , , , при этом Если и , то последовательность сходится, при этом .

Доказательство. Рассмотрим две бесконечно малые последовательности и , где , . Элементы и можно представить в следующем виде , . Из равенство (15) следует справедливость следующих соотношений

Заметим, что в силу теорем (3.1) и (3.2) последовательности , ,

являются бесконечно малыми последовательностями. Тогда из равенств (16) следует, что бесконечно малыми будут и последовательности ,

, что означает справедливость следующих равенств:

.

Докажем теперь, что из условия вытекает, что все элементы , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , или эквивалентному неравенству , означающему, что последовательность является ограниченной.

Действительно, возьмём в качестве положительного числа - число , тогда существует такой номер , что для всех номеров справедливо неравенство

Из последнего неравенства и неравенства (17) получим

или

Рассмотрим теперь выражение

. В правой части последнего равенства стоит произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность , из чего следует, что последовательность является бесконечно малой последовательностью, т.е. . Теорема 3.7 доказана.

Теорема 3.8. (о предельном переходе в неравенствах). Если элементы сходящейся последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству

, то и предел этой последовательности удовлетворяет неравенству .

Доказательство. Пусть все элементы начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству . Докажем, что . Предположим обратное, т.е. . Рассмотрим положительное число . Для этого числа существует номер такой, что для всех

или Последнее неравенство противоречит условию теоремы. Теорема 3.8 доказана.

Следствие 1. Если элементы сходящихся последовательностей и , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то их пределы удовлетворяют неравенству

Действительно, рассмотрим последовательность . Из условия теоремы имеем, что начиная с некоторого номера члены последовательности неотрицательны, т.е. . Тогда из теоремы 3.8 следует, что . Т.е. . Следствие 1 доказано.

Теорема 3.9. Пусть даны последовательности , и , причём для всех , начиная с некоторого номера . И пусть последовательности и имеют один и тот же предел . Тогда существует и этот предел также равен

Доказательство. Возьмём любое , тогда существует такой номер , что для всех номеров справедливо неравенство

Существует так же номер , такой, что для всех номеров справедливо неравенство

Пусть , тогда для всех выполнены одновременно неравенства (19), (20). Из условия теоремы 3.9 следует, что для всех справедливо так же неравенство

Тогда из неравенств (19), (20), (21) получим, что при верны неравенства

Из последних неравенств находим для всех . Т.е. последовательность сходится и её пределом является число . Теорема доказана.