Глава 5. Элементы математического анализа
§1. Множества. Операции над множествами.
Понятие множества
относится к первичным, т.е. неопределяемым
понятиям. Слова «совокупность»,
«семейство», «набор» и т.п. – синонимы
слова «множество». Примерами множества
могут служить множество студентов,
присутствующих в данной аудитории, или
множество студентов, прогуливающих
данную лекцию. Последнее множество, к
сожалению, не пустое множество. Множество
называется пустым, если оно не содержит
ни одного элемента. Обозначается 
.
Объекты, из которых состоит множество,
называются его элементами. Обычно
множество обозначают заглавными
латинскими буквами 
а элементы множества – строчными
латинскими буквами. Тот факт, что
является элементом множества
,
обозначается следующим образом 
.
И читается «
принадлежит множеству
.
Тот факт, что
не является элементом множества
,
обозначается следующим образом 
Операции над множествами.
Множества и называются равными, если
и наоборот
Если и - пустые множества, то мы полагаем что они равны.
Равенство множество обозначается следующим образом .
Множество
называется подмножеством множества
,
если
.
Обозначение 
.
Если
является подмножеством множества
и при этом существует элемент множества
,
не принадлежащий множеству
,
тогда
называется собственным подмножеством
множества
.
Обозначение 
.
Тот факт, что
можно обозначить так 
.
Примеры: множество
натуральных чисел 
Из определения 1
и 2 следует, что множества
и
равны тогда и только тогда, когда
и 
.
При этом считается, что является подмножеством любого множества.
Множество элементов
из некоторого множества
,
обладающих некоторым свойством 
будем обозначать следующим образом
.
Пример. Множество
всех положительных чисел 
можно записать следующим образом
Множество
называется объединением множеств
и
,
если любой элемент множества
содержится хотя бы в одном из множеств
и
,
т.е. 
Множество называется пересечением множеств и , если каждый элемент множества содержится как в , так и в .
Очевидно, что если
,
то 
.
Разностью множеств
и
называется такое множество
,
что каждый элемент множества
содержится в
,
но не содержится в
.
Обозначение 
.
Пусть
– произвольное множество,
- любое подмножество множества
.
.
Дополнением
множества
до множества
называется множество 
.
Обозначение 
или 
.
Рассмотрим два
множества
и
,
элементами которых могут быть любые
объекты, и предположим, что каждому
элементу
множества
некоторым способом поставлен в
соответствие элемент
множества
.
, который мы обозначим через 
.
Тогда 
называется отображением множества
в
.
Отображение множества в называется взаимно однозначным, если
Если существует взаимно однозначное отображение множества в , то будем говорить, что между множествами и может быть установлено взаимно однозначное соответствие, или, что и эквивалентны.
Тот факт, что
множества
и
эквиваленты, обозначается следующим
образом 
.